La cohomologie de ℝPⁿ s'arrête au degré n

(i) L'application $\phi$ est continue, à valeurs dans $V$. Chaque point de $V$ a un unique représentant $x$ tel que $x_{n+1} > 0$, de la forme $(z, \sqrt{1 - \|z\|^2})$ avec $z = x' \in B$ : $\phi$ est bijective.

Sa réciproque envoie $q(x)$ sur $x'$ si $x_{n+1} > 0$ et sur $-x'$ si $x_{n+1} < 0$ ; sa composée avec $q$, définie sur l'ouvert $\{x \in S^n : x_{n+1} \neq 0\}$, est continue, et la restriction de $q$ à cet ouvert est continue, ouverte et surjective sur $V$. Par le critère du nœud Revêtement double, $\phi^{-1}$ est continue. Enfin $\phi(z) \in U$ si et seulement si $z \neq 0$.

La boule $B$ est convexe : $V$ a la cohomologie d'un point (Invariance par homotopie, (ii)).

L'inclusion $\iota : S^{n-1} \to B \setminus \{0\}$, $x \mapsto \frac12 x$, et $r(z) = z/\|z\|$ vérifient $r \circ \iota = \mathrm{id}$, et $\iota \circ r$ est homotope à l'identité par $$F(z, t) = \frac{z}{(1 - t) + 2t\|z\|},$$ qui reste dans $B \setminus \{0\}$ : pour $0 < \|z\| < 1$, $$\begin{aligned} &(1 - t) + 2t\|z\| - \|z\| \\ &= (1 - t)(1 - \|z\|) + t\|z\| > 0. \end{aligned}$$ Donc $U \cap V$, homéomorphe à $B \setminus \{0\}$, a la cohomologie de $S^{n-1}$.

(ii) Soit $W = \{x \in S^n : x' \neq 0\}$, ouvert, et $H : U \times [0, 1] \to U$ définie par $$H\big(q(x), t\big) = q\left(\frac{(x', (1 - t)x_{n+1})}{\|(x', (1 - t)x_{n+1})\|}\right).$$ Elle est bien définie, l'expression étant impaire en $x$, et à valeurs dans $U$, puisque $x' \neq 0$. L'application $(x, t) \mapsto (q(x), t)$ de $W \times [0, 1]$ sur $U \times [0, 1]$ est continue, surjective et ouverte, l'image d'un produit d'ouverts étant un produit d'ouverts ; $H$ est donc continue.

On a $H(\cdot, 0) = \mathrm{id}_U$, et $H(q(x), 1) = q(x'/\|x'\|, 0)$. Pour $n \geqslant 2$, on note encore $q$ la projection de $S^{n-1}$ sur $\mathbb RP^{n-1}$, et l'on pose $\theta : \mathbb RP^{n-1} \to U$, $q(y) \mapsto q(y, 0)$, et $\varrho : U \to \mathbb RP^{n-1}$, $q(x) \mapsto q(x'/\|x'\|)$ ; elles sont bien définies et continues par le même critère. On a $\varrho \circ \theta = \mathrm{id}$ et $\theta \circ \varrho = H(\cdot, 1)$, homotope à l'identité : $\theta$ est une équivalence d'homotopie, et l'on applique le nœud Invariance par homotopie, (ii).

Pour $n = 1$, $x'/|x'| = \pm 1$, et $H(\cdot, 1)$ est constante, de valeur $q(1, 0)$. L'inclusion du point $q(1, 0)$ dans $U$ est donc une équivalence d'homotopie, l'application constante de $U$ sur ce point lui servant d'inverse : $U$ a la cohomologie d'un point, c'est-à-dire de $\mathbb RP^0$.

(iii) Récurrence sur $n$. Pour $n = 0$, $\mathbb RP^0$ est un point (Cohomologie singulière, (ii)). Soit $n \geqslant 1$ et $k > n$. Comme $U \cup V = \mathbb RP^n$, la suite de Mayer-Vietoris (Mayer-Vietoris) contient le segment exact $$\begin{aligned} &H^{k-1}(U \cap V; G) \\ &\xrightarrow{\kappa} H^k(\mathbb RP^n; G) \\ &\to H^k(U; G) \oplus H^k(V; G). \end{aligned}$$ Par (i), $H^{k-1}(U \cap V; G) \cong H^{k-1}(S^{n-1}; G)$, nul puisque $k - 1 \geqslant n \geqslant 1$ (Cohomologie des sphères). Par (ii) et l'hypothèse de récurrence, $H^k(U; G) = 0$, puisque $k > n - 1$, et $H^k(V; G) = 0$ par (i). Donc $H^k(\mathbb RP^n; G) = 0$.

Enfin $\mathbb RP^n = q(S^n)$ est connexe par arcs, comme image continue de $S^n$, et $H^0(\mathbb RP^n; G) \cong G$.