La suite exacte du revêtement Sⁿ → ℝPⁿ

(i) Le simplexe $\Delta_k$ est une partie convexe non vide de $\mathbb R^{k+1}$ : il est simplement connexe (Simple connexité), donc connexe par arcs et connexe, et localement connexe par arcs (Connexité locale par arcs, (ii)). Par le critère de relèvement (Critère de relèvement, (ii)), pour chacun des deux points $x$ et $-x$ de la fibre de $\sigma(e_0)$, il existe un unique relèvement de $\sigma$ qui y envoie $e_0$.

Si $\tilde\sigma$ est celui qui envoie $e_0$ sur $x$, $a \circ \tilde\sigma$ est un relèvement, puisque $q \circ a = q$, et il envoie $e_0$ sur $-x$ : c'est l'autre. Un relèvement envoie $e_0$ dans la fibre, et il n'y en a donc pas d'autre. Enfin $\tilde\sigma \circ \delta_i$ et $a \circ \tilde\sigma \circ \delta_i$ sont deux relèvements de $\sigma \circ \delta_i$, distincts puisque $a$ n'a pas de point fixe : ce sont ses deux relèvements.

(ii) La somme $y(\tilde\sigma) + y(a \circ \tilde\sigma)$ ne dépend pas du relèvement nommé $\tilde\sigma$. Par (i), pour un simplexe $\sigma$ de dimension $k + 1$, $$\begin{aligned} (\delta\tau^\#y)(\sigma) &= \sum_i y(\tilde\sigma \circ \delta_i) \\ &\quad + \sum_i y(a \circ \tilde\sigma \circ \delta_i) \\ &= (\delta y)(\tilde\sigma) + (\delta y)(a \circ \tilde\sigma), \end{aligned}$$ les signes étant sans effet modulo $2$ : $\tau^\#$ commute au cobord. Le morphisme $q^\#$ en est un par le nœud Cohomologie singulière, (i).

Injectivité de $q^\#$. Tout simplexe $\sigma$ de $\mathbb RP^n$ est de la forme $q \circ \sigma^+$ ; si $x(\sigma) \neq 0$, alors $(q^\#x)(\sigma^+) = x(\sigma) \neq 0$.

La composée est nulle : $(\tau^\#q^\#x)(\sigma) = x(\sigma) + x(\sigma) = 0$ dans $\mathbb F_2$.

Noyau de $\tau^\#$. Si $\tau^\#y = 0$, $y$ prend la même valeur sur les deux relèvements de chaque simplexe ; avec $x(\sigma) = y(\sigma^+)$, on a $y(\rho) = x(q \circ \rho)$ pour tout simplexe $\rho$ de $S^n$, puisque $\rho$ est l'un des deux relèvements de $q \circ \rho$. Donc $y = q^\#x$.

Surjectivité de $\tau^\#$. Pour $x \in C^k(\mathbb RP^n; \mathbb F_2)$, soit $y$ la cochaîne de $S^n$ égale à $x(q \circ \rho)$ sur les simplexes $\rho$ dont le premier sommet $\rho(e_0)$ est positif, et à $0$ sur les autres. Alors $$\begin{aligned} (\tau^\#y)(\sigma) &= y(\sigma^+) + y(a \circ \sigma^+) \\ &= x(\sigma) + 0. \end{aligned}$$ Cette cochaîne est définie par une règle explicite, sans aucun choix.

La suite exacte longue vient du nœud Complexes de cochaînes, (ii).

(iii) Si $q(x) = q(y)$, alors $y = \pm x$ et $g(y) = \pm g(x)$, donc $q(g(x)) = q(g(y))$ : l'application $\bar g$ est bien définie par $\bar g(q(x)) = q(g(x))$, et elle est continue, puisque $\bar g \circ q = q \circ g$ l'est.

On a $q^\#\bar g^\# = g^\#q^\#$. Si $\tilde\sigma$ relève $\sigma$, $g \circ \tilde\sigma$ relève $\bar g \circ \sigma$, et l'autre relèvement est $g \circ a \circ \tilde\sigma = a \circ g \circ \tilde\sigma$, puisque $g$ est impaire. D'où, pour $y \in C^k(S^m; \mathbb F_2)$, $$\begin{aligned} (\tau^\#g^\#y)(\sigma) &= y(g \circ \tilde\sigma) + y(a \circ g \circ \tilde\sigma) \\ &= (\bar g^\#\tau^\#y)(\sigma). \end{aligned}$$ Ainsi $(\bar g^\#, g^\#, \bar g^\#)$ est un morphisme de la suite exacte courte de $\mathbb RP^m$ vers celle de $\mathbb RP^n$, et la naturalité du morphisme de connexion (Complexes de cochaînes, (ii)) donne $\kappa_n \circ \bar g^* = \bar g^* \circ \kappa_m$.