Lemme 2Homologie cellulaire

Le lemme des cinq

Énoncé

Soit un diagramme commutatif de groupes abéliens dont les deux colonnes sont exactes : $\begin{CD} A_1 @>{f_1}>> B_1 \\ @V{\alpha_1}VV @VV{\beta_1}V \\ A_2 @>{f_2}>> B_2 \\ @V{\alpha_2}VV @VV{\beta_2}V \\ A_3 @>{f_3}>> B_3 \\ @V{\alpha_3}VV @VV{\beta_3}V \\ A_4 @>{f_4}>> B_4 \\ @V{\alpha_4}VV @VV{\beta_4}V \\ A_5 @>{f_5}>> B_5 \end{CD}$ Si $f_2$ et $f_4$ sont des isomorphismes, $f_1$ surjectif et $f_5$ injectif, alors $f_3$ est un isomorphisme. C'est le lemme des cinq.

Démonstration

Injectivité. Soit $a_3 \in A_3$ tel que $f_3(a_3) = 0$ . Alors $f_4(\alpha_3a_3) = \beta_3f_3(a_3) = 0$ , donc $\alpha_3a_3 = 0$ , puisque $f_4$ est injectif, et $a_3 = \alpha_2a_2$ pour un $a_2 \in A_2$ , par exactitude.

Comme $\beta_2f_2(a_2) = f_3\alpha_2(a_2) = 0$ , on a $f_2(a_2) = \beta_1b_1$ pour un $b_1 \in B_1$ , et $b_1 = f_1(a_1)$ , $f_1$ étant surjectif. Alors $f_2(a_2) = \beta_1f_1(a_1) = f_2(\alpha_1a_1)$ , d'où $a_2 = \alpha_1a_1$ par injectivité de $f_2$ , et $a_3 = \alpha_2\alpha_1a_1 = 0.$

Surjectivité. Soit $b_3 \in B_3$ , et $a_4 \in A_4$ tel que $f_4(a_4) = \beta_3b_3$ . Alors $f_5(\alpha_4a_4) = \beta_4\beta_3b_3 = 0$ , donc $\alpha_4a_4 = 0$ , puisque $f_5$ est injectif, et $a_4 = \alpha_3a_3$ pour un $a_3 \in A_3$ .

On a $\beta_3\big(b_3 - f_3(a_3)\big) = \beta_3b_3 - f_4\alpha_3(a_3) = 0$ , donc $b_3 - f_3(a_3) = \beta_2b_2$ pour un $b_2 \in B_2$ . Si $b_2 = f_2(a_2)$ , il vient $\beta_2b_2 = f_3(\alpha_2a_2)$ , et $b_3 = f_3\big(a_3 + \alpha_2a_2\big).$

□

Remarque

L'usage est toujours le même : deux suites exactes longues sont reliées par des morphismes induits par une application, et l'on sait que ces morphismes sont des isomorphismes pour deux termes sur trois ; le lemme le donne pour le troisième. C'est ainsi que le nœud Paires de bon type compare l'homologie de $(X, A)$ à celle de $(X, N)$ , lorsque $A$ et $N$ ont la même homologie.

Remarque

La démonstration ne fixe que des éléments en nombre fini, dont elle affirme l'existence : aucun choix n'intervient. L'hypothèse de commutativité est indispensable, et l'erreur la plus répandue est de l'oublier : des groupes isomorphes terme à terme, reliés par des isomorphismes qui ne commutent pas avec les flèches, ne permettent aucune conclusion.

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Paires de bon type et quotient X/A