Proposition 1Produit cup

L'anneau de cohomologie

L'anneau de cohomologie de $X$ à coefficients dans $R$ est la somme directe ${H^*}(X; R) = \bigoplus_{k \geqslant 0} H^k(X; R),$ formée des suites $(a_k)_{k \geqslant 0}$ , avec $a_k \in H^k(X; R)$ , nulles à partir d'un certain rang, munie de l'addition terme à terme et du produit $(a_k) \smile (b_k) = \Big(\sum_{i + j = m} a_i \smile b_j\Big)_m.$ On identifie $a \in H^k(X; R)$ à la suite dont seul le terme d'indice $k$ est non nul ; un tel élément est dit homogène de degré $k$ .

Énoncé

(i) $H^*(X; R)$ est un anneau, d'unité $[1]$ , et une application continue $f : X \to Y$ induit un morphisme d'anneaux $f^* : H^*(Y; R) \to H^*(X; R)$ .

(ii) Commutativité graduée. Pour $a \in H^k(X; R)$ et $b \in H^l(X; R)$ , $a \smile b = (-1)^{kl}\, b \smile a$ . Ce point est admis ici.

(iii) Sphères. Pour $n \geqslant 1$ , $H^n({S^n}; R)$ est un $R$ -module isomorphe à $R$ ; soit $\alpha$ l'image de $1$ par un tel isomorphisme. L'application $P \mapsto P(\alpha)$ induit un isomorphisme d'anneaux ${R[X]}/(X^2) \cong H^*(S^n; R).$

Démonstration

(i) L'associativité et la distributivité de ce produit viennent de la bilinéarité et de l'associativité du produit cup (Produit cup, (iii)), et $[1]$ est l'unité. Le morphisme $f^*$ respecte la somme et le produit, par la naturalité du produit cup, et envoie $[1]$ sur $[1]$ .

(ii) Admis ici. Au niveau des cochaînes, $\varphi \smile \psi$ et $\psi \smile \varphi$ lisent $\varphi$ et $\psi$ sur des faces différentes, et ne sont pas égaux au signe près (remarque du nœud Produit cup). La démonstration (A. Hatcher, Algebraic Topology, 2002, théorème 3.11) introduit l'opérateur qui renverse l'ordre des sommets d'un simplexe, $\sigma \mapsto \varepsilon_n\, \sigma|[n, \dots, 0]$ avec $\varepsilon_n = (-1)^{n(n+1)/2}$ , vérifie que c'est un morphisme de complexes qui échange les deux produits au signe $(-1)^{kl}$ près, et construit une homotopie explicite entre lui et l'identité, par des opérateurs de prisme ; c'est cette homotopie, longue à écrire et à vérifier, qui est contournée.

(iii) Le nœud Cohomologie des sphères, appliqué à $G = R$ , donne des isomorphismes de groupes $H^0(S^n; R) \cong R$ et $H^n(S^n; R) \cong R$ , et $H^k(S^n; R) = 0$ ailleurs. Ils sont R-linéaires : toutes les flèches de la démonstration sont induites par des morphismes de complexes de $R$ -modules, et le morphisme de connexion d'une suite exacte de tels complexes est $R$ -linéaire, par sa définition. L'élément $[1]$ engendre $H^0(S^n; R)$ , puisque $S^n$ est connexe par arcs.

Tout élément de $H^*(S^n; R)$ s'écrit donc $a[1] + b\alpha$ avec $a, b \in R$ , et $\alpha \smile \alpha \in H^{2n}(S^n; R) = 0$ , puisque $2n \notin \{0, n\}$ . Le morphisme d'anneaux $P \mapsto P(\alpha)$ de $R[X]$ dans $H^*(S^n; R)$ est donc surjectif, de noyau formé des polynômes dont les coefficients de $1$ et de $X$ sont nuls, c'est-à-dire l'idéal $X^2R[X]$ ; on conclut par le théorème d'isomorphisme (Anneau quotient).

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Remarque

Rien de ce qui suit ne dépend de (ii) : l'anneau de cohomologie de ${\mathbb RP^n}$ , calculé au nœud Anneau de ℝPⁿ, est engendré par un seul élément, dont les puissances commutent entre elles par associativité.

Remarque

Le point (ii) est démontré au chapitre Formule de Künneth, au nœud Commutativité graduée, sans écrire l'homotopie : on écrit $a \smile b$ comme l'image réciproque du produit croisé $a \times b$ par la diagonale $X \to X \times X$ , et la méthode des modèles acycliques compare l'application d'Alexander-Whitney et sa composée avec l'échange des facteurs.

Remarque

Sur la sphère, tout produit de deux classes de degré strictement positif est nul. Il n'en va pas de même pour $\mathbb RP^n$ , dont la classe de degré $1$ a une puissance $n$ -ième non nulle : c'est une information que les groupes de cohomologie, pris un à un, ne contiennent pas, et c'est elle qui démontrera le théorème de Borsuk-Ulam (Borsuk-Ulam).

Repose sur

Le produit cup

Sert à

L'anneau de cohomologie de ℝPⁿ modulo 2