Définition 1Produit cup

Le produit cup

Dans ce chapitre, $R$ est un anneau commutatif, par exemple ${\mathbb Z}$ ou ${\mathbb Z/n\mathbb Z}$ . Les cochaînes singulières $C^n(X; R)$ du nœud Cohomologie singulière forment alors un $R$ -module pour la loi $(a\varphi)(\sigma) = a\,\varphi(\sigma)$ , le cobord est R-linéaire, et ${H^n}(X; R)$ est un $R$ -module.

Pour un simplexe singulier $\sigma : \Delta_n \to X$ et des indices $i_0, \dots, i_m$ entre $0$ et $n$ , on note $\sigma|[i_0, \dots, i_m] = \sigma \circ [e_{i_0}, \dots, e_{i_m}],$ où $[e_{i_0}, \dots, e_{i_m}] : \Delta_m \to \Delta_n$ est le simplexe affine du nœud Subdivision barycentrique. Comme une application affine respecte les combinaisons de coefficients de somme $1$ , $(\sigma|[i_0, \dots, i_m])|[j_0, \dots, j_p] = \sigma|[i_{j_0}, \dots, i_{j_p}]$ ; et la face $\sigma \circ \delta_i$ est $\sigma|[0, \dots, \widehat{i}, \dots, n]$ .

Pour $\varphi \in C^k(X; R)$ et $\psi \in C^l(X; R)$ , le produit cup $\varphi {\smile} \psi \in C^{k+l}(X; R)$ est défini, pour un simplexe $\sigma$ de dimension $k + l$ , par $\begin{aligned} (\varphi \smile \psi)(\sigma) &= \varphi\big(\sigma|[0, \dots, k]\big) \\ &\quad \times \psi\big(\sigma|[k, \dots, k + l]\big). \end{aligned}$ On évalue $\varphi$ sur la face avant de $\sigma$ , de dimension $k$ , et $\psi$ sur sa face arrière, de dimension $l$ ; elles ont en commun le seul sommet d'indice $k$ .

Pour

k = 1

l = 2

, la valeur de

\varphi \smile \psi

sur un simplexe de dimension

3

est le produit de la valeur de

\varphi

sur l'arête avant, de

e_0

e_1

, en rouge, et de celle de

\psi

sur la face arrière

[e_1, e_2, e_3]

, en bleu. Les deux faces n'ont en commun que le sommet

e_1

, en rouge, et les arêtes

[e_0, e_2]

[e_0, e_3]

, en gris, n'interviennent pas.

Énoncé

(i) Le produit cup est bilinéaire et associatif ; la cochaîne $1 \in C^0(X; R)$ , qui vaut $1$ en chaque point, en est l'unité. Il est naturel : $f^\#(\varphi \smile \psi) = f^\#\varphi \smile f^\#\psi$ pour toute application continue $f$ .

(ii) Formule de Leibniz. Pour $\varphi \in C^k(X; R)$ et $\psi \in C^l(X; R)$ , $\delta(\varphi \smile \psi) = \delta\varphi \smile \psi + (-1)^k\, \varphi \smile \delta\psi.$

(iii) Le produit de deux cocycles est un cocycle, et sa classe ne dépend que des classes des facteurs. On obtient un produit $H^k(X; R) \times H^l(X; R) \to H^{k+l}(X; R)$ , $[\varphi] \smile [\psi] = [\varphi \smile \psi]$ , bilinéaire, associatif, d'unité $[1]$ , et naturel : $f^*(a \smile b) = f^*a \smile f^*b$ .

Démonstration

(i) La bilinéarité se lit sur la formule. Pour $\chi \in C^m(X; R)$ et $\sigma$ de dimension $k + l + m$ , la règle de composition des faces donne $\begin{aligned} &\big((\varphi \smile \psi) \smile \chi\big)(\sigma) \\ &= \varphi\big(\sigma|[0..k]\big) \\ &\quad \times \psi\big(\sigma|[k..k{+}l]\big) \\ &\quad \times \chi\big(\sigma|[k{+}l..k{+}l{+}m]\big), \end{aligned}$ où $[a..b]$ abrège $[a, a + 1, \dots, b]$ , et l'on trouve la même expression pour $\varphi \smile (\psi \smile \chi)$ , par l'associativité du produit de $R$ .

Pour l'unité, $(1 \smile \psi)(\sigma) = 1 \cdot \psi(\sigma|[0..l]) = \psi(\sigma)$ , et de même à droite. La naturalité vient de $(f \circ \sigma)|[i_0, \dots, i_m] = f \circ (\sigma|[i_0, \dots, i_m])$ .

(ii) Soit $\sigma$ de dimension $k + l + 1$ . Par définition du cobord, $\begin{aligned} &(\delta\varphi \smile \psi)(\sigma) = \sum_{i=0}^{k+1} (-1)^i \\ &\quad \varphi\big(\sigma|[0..\widehat{i}..k{+}1]\big) \\ &\quad \times \psi\big(\sigma|[k{+}1..k{+}l{+}1]\big), \end{aligned}$ $\begin{aligned} &(-1)^k(\varphi \smile \delta\psi)(\sigma) = \sum_{i=k}^{k+l+1} (-1)^i \\ &\quad \varphi\big(\sigma|[0..k]\big) \\ &\quad \times \psi\big(\sigma|[k..\widehat{i}..k{+}l{+}1]\big). \end{aligned}$

Le terme $i = k + 1$ de la première somme et le terme $i = k$ de la seconde sont opposés : ils valent $\pm\varphi(\sigma|[0..k])\,\psi(\sigma|[k{+}1..k{+}l{+}1])$ . Il reste les termes $i \leqslant k$ de la première somme et $i \geqslant k + 1$ de la seconde.

Or, pour $i \leqslant k$ , la face $\sigma \circ \delta_i = \sigma|[0..\widehat{i}..k{+}l{+}1]$ a pour face avant $\sigma|[0..\widehat{i}..k{+}1]$ et pour face arrière $\sigma|[k{+}1..k{+}l{+}1]$ ; pour $i \geqslant k + 1$ , elle a pour face avant $\sigma|[0..k]$ et pour face arrière $\sigma|[k..\widehat{i}..k{+}l{+}1]$ . La somme restante est donc $\begin{aligned} &\sum_{i=0}^{k+l+1} (-1)^i (\varphi \smile \psi)(\sigma \circ \delta_i) \\ &= \delta(\varphi \smile \psi)(\sigma). \end{aligned}$

(iii) Si $\delta\varphi = \delta\psi = 0$ , (ii) donne $\delta(\varphi \smile \psi) = 0$ . Si de plus $\psi = \delta\chi$ , alors $\varphi \smile \delta\chi = (-1)^k\delta(\varphi \smile \chi)$ ; si $\varphi = \delta\chi$ , alors $\delta\chi \smile \psi = \delta(\chi \smile \psi)$ . Dans les deux cas le produit est un cobord, et la classe du produit ne dépend que des classes des facteurs. Les autres propriétés passent de (i) aux classes.

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Remarque

La définition dépend de l'ordre des sommets, et le produit n'est pas commutatif au niveau des cochaînes, même au signe près : pour deux $1$ -cochaînes, $(\varphi \smile \psi)(\sigma)$ lit $\varphi$ sur l'arête $[e_0, e_1]$ et $\psi$ sur $[e_1, e_2]$ , alors que $(\psi \smile \varphi)(\sigma)$ fait l'inverse. Un calcul le confirme sur un modèle combinatoire : les « simplexes » y sont toutes les suites de sommets pris parmi quatre points, les faces s'obtiennent en supprimant un sommet, et les cochaînes sont tirées au hasard. La formule de Leibniz et l'associativité s'y vérifient exactement, la commutativité au signe près jamais. La commutativité ne vaut qu'en cohomologie, au signe près (Anneau de cohomologie).

Remarque

Le produit a été introduit entre 1935 et 1938. Alexander et Kolmogorov en ont présenté indépendamment la construction à la première conférence internationale de topologie, à Moscou en 1935 (D. Apushkinskaya, A. Nazarov, G. Sinkevich, In search of shadows : the first topological conference, Moscow 1935, 2019, arXiv:1903.02065) ; suivirent les articles de Čech, Multiplications on a complex (Ann. of Math. 37, 1936, p. 681-697), et de Whitney, On products in a complex (Ann. of Math. 39, 1938, p. 397-432).

Repose sur

Cohomologie singulière

Sert à

L'anneau de cohomologie