Commutativité graduée du produit cup

(i) Pour $c \in C_i$ et $d \in D_j$, on a $\partial\tau(d \otimes c) = (-1)^{ij}\big(\partial c \otimes d + (-1)^i c \otimes \partial d\big)$ et $$\begin{aligned} \tau\partial(d \otimes c) &= \tau\big(\partial d \otimes c + (-1)^j d \otimes \partial c\big) \\ &= (-1)^{i(j-1)} c \otimes \partial d \\ &\quad + (-1)^{j + (i-1)j} \partial c \otimes d, \end{aligned}$$ et les signes coïncident : $(-1)^{i(j-1)} = (-1)^{ij + i}$ et $(-1)^{j + (i-1)j} = (-1)^{ij}$.

Considérons les deux transformations naturelles $\mathsf F \to \mathsf G$, au sens du nœud Modèles acycliques, $$\Phi = \mathrm{AW}_{X,Y}, \qquad \Phi' = \tau \circ \mathrm{AW}_{Y,X} \circ t_\#.$$ La seconde est naturelle, puisque $t \circ (f \times g) = (g \times f) \circ t$ et que $(f_\# \otimes g_\#) \circ \tau = \tau \circ (g_\# \otimes f_\#)$ ; elle est un morphisme de complexes comme composée de tels morphismes (Eilenberg-Zilber, (i)). En degré $0$, les deux envoient le point $(x, y)$ sur $x \otimes y$.

Par le point (iii) du nœud Modèles acycliques, $\mathsf F$ étant libre et $\mathsf G$ acyclique sur les modèles, il existe une homotopie naturelle $P$, notée ainsi pour ne pas la confondre avec le complexe $D$ ci-dessus, telle que $\Phi' - \Phi = \partial P + P\partial$.

Soient $\varphi$ et $\psi$ des cocycles qui représentent $a$ et $b$. Par le nœud Produit croisé, (i), $(\varphi \otimes \psi) \circ \Phi = \varphi \times \psi$, et $(\varphi \otimes \psi) \circ \partial = 0$, de sorte que $$(\varphi \otimes \psi) \circ (\Phi' - \Phi) = \delta\big((\varphi \otimes \psi) \circ P\big)$$ est un cobord.

Calculons $(\varphi \otimes \psi) \circ \Phi'$ sur un simplexe $\sigma$ de dimension $n = k + l$, de composantes $\sigma_1$ et $\sigma_2$. Les composantes de $t \circ \sigma$ sont $\sigma_2$ et $\sigma_1$, et $$\begin{aligned} &\tau\,\mathrm{AW}(t \circ \sigma) \\ &= \sum_i (-1)^{i(n-i)}\, \sigma_1|[i..n] \otimes \sigma_2|[0..i]. \end{aligned}$$ Seul le terme $i = l$ est de bidegré $(k, l)$, et il donne $$\begin{aligned} &(-1)^{kl}\,\varphi\big(\sigma_1|[l..n]\big)\,\psi\big(\sigma_2|[0..l]\big) \\ &= (-1)^{kl}\,(\psi \times \varphi)(t \circ \sigma) \\ &= (-1)^{kl}\, \big(t^\#(\psi \times \varphi)\big)(\sigma). \end{aligned}$$ Ainsi $(-1)^{kl}\, t^\#(\psi \times \varphi) - \varphi \times \psi$ est un cobord, ce qui est l'égalité annoncée.

(ii) Les deux composantes de $\Delta \circ \sigma$ sont $\sigma$, et la formule du point (i) du nœud Produit croisé donne $\Delta^\#(\varphi \times \psi)(\sigma) = \varphi(\sigma|[0..k])\,\psi(\sigma|[k..k{+}l]) = (\varphi \smile \psi)(\sigma)$.

(iii) Comme $t \circ \Delta = \Delta$, (ii) et (i), appliqué à $Y = X$, donnent $$\begin{aligned} a \smile b &= \Delta^*(a \times b) \\ &= (-1)^{kl}\,\Delta^*t^*(b \times a) \\ &= (-1)^{kl}\,(t \circ \Delta)^*(b \times a) \\ &= (-1)^{kl}\, b \smile a. \end{aligned}$$