Le produit croisé en cohomologie ⋆

(i) Les composantes de $\sigma$ sont $\sigma_1 = p_1 \circ \sigma$ et $\sigma_2 = p_2 \circ \sigma$, et $(p_1 \circ \sigma)|[0..k] = \sigma_1|[0..k]$. Par définition du produit cup (Produit cup), $$\begin{aligned} (\varphi \times \psi)(\sigma) &= \varphi\big(\sigma_1|[0..k]\big) \\ &\quad \cdot \psi\big(\sigma_2|[k..k{+}l]\big), \end{aligned}$$ et c'est la valeur de $\varphi \otimes \psi$ sur $\mathrm{AW}(\sigma)$, dont seul le terme d'indice $k$ est de bidegré $(k, l)$.

La formule du bord se vérifie sur $c \otimes d$ : si $c \in C_{k+1}$ et $d \in C_l$, les deux membres valent $\varphi(\partial c)\psi(d)$ ; si $c \in C_k$ et $d \in C_{l+1}$, ils valent $(-1)^k\varphi(c)\psi(\partial d)$ ; ailleurs ils sont nuls.

La bilinéarité et la naturalité viennent de celles du produit cup (Produit cup, (iii)) et de $p_1 \circ (f \times g) = f \circ p_1$, $p_2 \circ (f \times g) = g \circ p_2$. Enfin $p_2^*1 = 1$, unité du produit cup.

(ii) Soient $\varphi$, $\psi$ des cocycles qui représentent $a$ et $b$, et $z$, $w$ des cycles qui représentent $x$ et $y$. Par (i), $(\varphi \otimes \psi) \circ \partial = 0$. Par le théorème d'Eilenberg-Zilber (Eilenberg-Zilber, (ii) et (iii)), il existe $D$ tel que $\mathrm{AW} \circ \mathrm{EZ} = \mathrm{id} - \partial D - D\partial$, et, comme $z \otimes w$ est un cycle, $$\begin{aligned} &(\varphi \times \psi)\big(\mathrm{EZ}(z \otimes w)\big) \\ &= (\varphi \otimes \psi)\big(z \otimes w - \partial D(z \otimes w)\big) \\ &= (\varphi \otimes \psi)(z \otimes w). \end{aligned}$$ Cette valeur est $\varphi(z)\psi(w)$ si $(k', l') = (k, l)$, et $0$ sinon.

(iii) Dualité sur un corps ⋆. Soit $C$ un complexe de $K$-espaces vectoriels, et $\mathrm{ev} : H^n(\operatorname{Hom}_K(C, K)) \to \operatorname{Hom}_K(H_n(C), K)$ l'évaluation, définie comme au nœud Complexes de cochaînes, (iii). Elle est injective : si un cocycle $\varphi$ est nul sur $Z_n = \operatorname{Ker}\partial_n$, il s'écrit $\psi \circ \partial_n$, avec $\psi$ forme linéaire sur $B_{n-1}$, puisque $\partial_n$ induit un isomorphisme de $C_n/Z_n$ sur $B_{n-1}$ (Théorème d'isomorphisme) ; $\psi$ se prolonge à $C_{n-1}$ par zéro sur un supplémentaire de $B_{n-1}$, et $\varphi$ est un cobord.

Elle est surjective : une forme linéaire sur $H_n(C)$, composée avec la projection $Z_n \to H_n(C)$, se prolonge à $C_n$ par zéro sur un supplémentaire de $Z_n$, en un cocycle, puisqu'elle est nulle sur $B_n$. Ces supplémentaires existent par le lemme de Zorn (Existence de bases, (ii)) ⋆. On l'applique à $C(X; K)$, dont les formes linéaires sont les cochaînes à valeurs dans $K$.

Conclusion. Par le point (ii) du nœud Künneth en homologie, $H_n(X \times Y; K)$ est la somme directe des $H_i(X; K) \otimes H_j(Y; K)$, $i + j = n$, par le produit croisé. Par (ii), la composée de $\times$ et de l'évaluation envoie $a \otimes b$, pour $a \in H^i(X; K)$ et $b \in H^j(Y; K)$, sur la forme linéaire égale à $x \otimes y \mapsto \langle a, x \rangle \langle b, y \rangle$ sur le facteur $(i, j)$ et nulle sur les autres.

L'évaluation étant bijective pour $X$, pour $Y$ et pour $X \times Y$, il reste à voir que, pour $V = H_i(X; K)$ quelconque et $W = H_j(Y; K)$ de dimension finie, l'application $\operatorname{Hom}(V, K) \otimes \operatorname{Hom}(W, K) \to \operatorname{Hom}(V \otimes W, K)$ ainsi décrite est bijective. Avec une base $(w_1, \dots, w_r)$ de $W$ et sa base duale (Dualité), $V \otimes W \cong V^r$ et $\operatorname{Hom}(V, K) \otimes \operatorname{Hom}(W, K) \cong \operatorname{Hom}(V, K)^r$ (Produit tensoriel, (iii)), et l'application devient l'identité de $\operatorname{Hom}(V, K)^r$.