Théorème 3Formule de Künneth

Le théorème d'Eilenberg-Zilber

Pour un simplexe $\sigma : \Delta_n \to X \times Y$ , on note $\sigma_1 = p_1 \circ \sigma$ et $\sigma_2 = p_2 \circ \sigma$ ses composantes, et l'on reprend la notation $\sigma|[i_0, \dots, i_m]$ du nœud Produit cup, avec $[a..b] = [a, a + 1, \dots, b]$ . L'application d'Alexander-Whitney $\mathrm{AW} : C_n(X \times Y) \to (C(X) \otimes C(Y))_n$ est définie par $\mathrm{AW}(\sigma) = \sum_{i=0}^n \sigma_1|[0..i] \otimes \sigma_2|[i..n] :$ on prend la face avant de la première composante et la face arrière de la seconde, qui partagent le sommet d'indice $i$ .

Pour un anneau commutatif $R$ , on note $C(X; R) = C(X) \otimes_{\mathbb Z} R$ , complexe de bord $\partial \otimes \mathrm{id}$ ; c'est le $R$ -module libre sur les simplexes singuliers (Produit tensoriel, (iii)), avec le même bord.

Énoncé

(i) $\mathrm{AW}$ est une transformation naturelle $\mathsf F \to \mathsf G$ , au sens du nœud Modèles acycliques, et $\mathrm{AW}(x, y) = x \otimes y$ en degré $0$ .

(ii) Il existe une transformation naturelle $\mathrm{EZ} : \mathsf G \to \mathsf F$ telle que $\mathrm{EZ}(x \otimes y) = (x, y)$ en degré $0$ . Pour toute telle $\mathrm{EZ}$ , les composées $\mathrm{AW} \circ \mathrm{EZ}$ et $\mathrm{EZ} \circ \mathrm{AW}$ sont naturellement homotopes aux identités. En particulier, $\begin{aligned} \mathrm{EZ}_* : {} &{H_n}\big(C(X) \otimes C(Y)\big) \\ &\to {H_n}(X \times Y) \end{aligned}$ est un isomorphisme, de réciproque $\mathrm{AW}_*$ , et il ne dépend pas du choix de $\mathrm{EZ}$ .

(iii) Coefficients. Le complexe $(C(X) \otimes C(Y)) \otimes_{\mathbb Z} R$ s'identifie à $C(X; R) \otimes_R C(Y; R)$ , et $\mathrm{AW} \otimes \mathrm{id}$ et $\mathrm{EZ} \otimes \mathrm{id}$ sont des applications R-linéaires entre $C(X \times Y; R)$ et $C(X; R) \otimes_R C(Y; R)$ , dont les composées sont homotopes aux identités par des homotopies $R$ -linéaires.

Démonstration

(i) Naturalité. Les composantes de $(f \times g) \circ \sigma$ sont $f \circ \sigma_1$ et $g \circ \sigma_2$ , et $(f \circ \sigma_1)|[0..i] = f \circ (\sigma_1|[0..i])$ . En degré $0$ , $\mathrm{AW}$ envoie le point $(x, y)$ sur $x \otimes y$ , et respecte les augmentations.

Morphisme de complexes. Développons $\begin{aligned} \partial\,\mathrm{AW}(\sigma) &= \sum_i \partial(\sigma_1|[0..i]) \otimes \sigma_2|[i..n] \\ &\quad + \sum_i (-1)^i\, \sigma_1|[0..i] \\ &\qquad \otimes \partial(\sigma_2|[i..n]). \end{aligned}$ Omettre le dernier sommet de la face avant donne $(-1)^i\,\sigma_1|[0..i{-}1] \otimes \sigma_2|[i..n]$ , pour $i \geqslant 1$ ; omettre le premier sommet de la face arrière donne $(-1)^i\,\sigma_1|[0..i] \otimes \sigma_2|[i{+}1..n]$ , pour $i \leqslant n - 1$ . En remplaçant $i$ par $i - 1$ dans les seconds, ces termes se compensent deux à deux.

Il reste les termes où l'on omet un sommet $j < i$ dans la face avant, de coefficient $(-1)^j$ , et ceux où l'on omet un sommet $j > i$ dans la face arrière, de coefficient $(-1)^i(-1)^{j-i} = (-1)^j$ : $\begin{aligned} &\sum_{j < i} (-1)^j\, \sigma_1|[0..\widehat{j}..i] \otimes \sigma_2|[i..n] \\ &+ \sum_{j > i} (-1)^j\, \sigma_1|[0..i] \otimes \sigma_2|[i..\widehat{j}..n]. \end{aligned}$

D'autre part, la face $\sigma \circ \delta_j = \sigma|[0..\widehat{j}..n]$ a pour face avant de dimension $i$ le simplexe $\sigma|[0..\widehat{j}..i{+}1]$ et pour face arrière $\sigma|[i{+}1..n]$ si $j \leqslant i$ , et $\sigma|[0..i]$ , $\sigma|[i..\widehat{j}..n]$ si $j > i$ , par la règle de composition des faces (Produit cup). Dans $\mathrm{AW}(\partial\sigma) = \sum_j (-1)^j\,\mathrm{AW}(\sigma \circ \delta_j)$ , on retrouve les deux sommes, la première après avoir remplacé $i + 1$ par $i$ .

(ii) Par le nœud Modèles acycliques, (i), $\mathsf F$ et $\mathsf G$ sont libres et acycliques sur les modèles. L'application $x \otimes y \mapsto (x, y)$ est naturelle et respecte les augmentations ; par le point (ii) de ce nœud, elle se prolonge en une transformation naturelle $\mathrm{EZ}$ .

Les composées $\mathrm{AW} \circ \mathrm{EZ} : \mathsf G \to \mathsf G$ et $\mathrm{EZ} \circ \mathrm{AW} : \mathsf F \to \mathsf F$ sont naturelles et valent l'identité en degré $0$ ; par le point (iii), elles sont naturellement homotopes aux identités. Deux applications homotopes induisant la même application en homologie (Complexes de chaînes, (iii)), $\mathrm{AW}_*$ et $\mathrm{EZ}_*$ sont réciproques. Deux choix de $\mathrm{EZ}$ sont homotopes, par le point (iii) encore, et induisent le même isomorphisme.

(iii) Les deux complexes sont des $R$ -modules libres de base les couples $(\sigma, \tau)$ de simplexes de $X$ et de $Y$ (Produit tensoriel, (iii)), et la bijection entre les bases commute au bord, donné par la même formule. Si $\partial D + D\partial = \mathrm{id} - \mathrm{AW} \circ \mathrm{EZ}$ , alors $D \otimes \mathrm{id}$ vérifie la même identité pour $\mathrm{AW} \otimes \mathrm{id}$ et $\mathrm{EZ} \otimes \mathrm{id}$ (Produit de complexes, (i)) ; de même pour l'autre composée.

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Remarque

On peut choisir pour $\mathrm{EZ}$ une formule explicite, l'application de battage (en anglais shuffle). Un battage de type $(p, q)$ est une partition de $\{1, \dots, p + q\}$ en deux suites croissantes $\mu_1 < \cdots < \mu_p$ et $\nu_1 < \cdots < \nu_q$ ; il correspond au chemin de $(0, 0)$ à $(p, q)$ dont le pas numéro $\mu_k$ va vers la droite et le pas numéro $\nu_k$ vers le haut, et ce chemin définit un simplexe affine de dimension $p + q$ de $\Delta_p \times \Delta_q$ . Le produit se découpe ainsi en $\binom{p+q}{p}$ simplexes, chacun compté avec la signature de la permutation $(\mu_1, \dots, \mu_p, \nu_1, \dots, \nu_q)$ , et $\mathrm{EZ}(\sigma \otimes \tau)$ est l'image par $\sigma \times \tau$ de cette somme. Que ce battage soit une transformation naturelle égale à $(x, y)$ en degré $0$ , donc un choix possible au point (ii), est admis ici : c'est un calcul combinatoire sur les faces des simplexes de battage (Eilenberg et Mac Lane, 1953, référence ci-dessous). Pour $p = q = 1$ , en notant $v_i = (e_i, e_0)$ et $w_i = (e_i, e_1)$ les sommets du carré, $\mathrm{EZ}(\iota_1 \otimes \iota_1) = [v_0, v_1, w_1] - [v_0, w_0, w_1],$ l'opposé de l'opérateur prisme du nœud Invariance par homotopie.

Le carré

\Delta_1 \times \Delta_1

est découpé par sa diagonale en deux triangles. Le triangle rouge

[v_0, v_1, w_1]

, compté avec le signe

+

, correspond au chemin qui va d'abord à droite puis en haut ; le triangle bleu

[v_0, w_0, w_1]

, compté avec le signe

-

, au chemin qui monte d'abord. La diagonale, parcourue par les deux, disparaît du bord, et il reste le bord du carré, c'est-à-dire

\mathrm{EZ}(\partial(\iota_1 \otimes \iota_1))

Un calcul programmé, sur le modèle des simplexes affines à sommets répétés, vérifie que ce battage est un morphisme de complexes pour $p + q \leqslant 4$ , et que la construction du point (ii) donne pour $\iota_1 \otimes \iota_1$ ces deux triangles, accompagnés de quatre simplexes dégénérés, de sommets répétés.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire que $\mathrm{AW} \circ \mathrm{EZ}$ est l'identité. Pour le battage, elle l'est aux simplexes dégénérés près : $\mathrm{AW}[v_0, v_1, w_1]$ contient $\iota_1 \otimes \iota_1$ , mais aussi $e_0 \otimes [e_0, e_0, e_1]$ et $[e_0, e_1, e_1] \otimes e_1$ , qui ne sont pas nuls dans les chaînes singulières. Seule l'homotopie du point (ii) les fait disparaître en homologie.

Remarque

Le théorème est dû à Eilenberg et Zilber (On products of complexes, Amer. J. Math. 75, 1953, p. 200-204), qui le démontrent par les modèles acycliques ; le produit de battage apparaît chez Eilenberg et Mac Lane (On the groups H(Π, n). I, Ann. of Math. 58, 1953, p. 55-106). Le nom d'Alexander-Whitney rappelle que la formule de la face avant et de la face arrière est celle du produit cup (Produit cup).

Repose sur

La méthode des modèles acycliques

Sert à

La formule de Künneth en homologie singulière