Définition 3Formule de Künneth

Produit tensoriel de complexes

Dans la suite du chapitre, sauf mention contraire, les complexes sont des complexes de modules, au sens du nœud Produit tensoriel, nuls en degré négatif. Le produit tensoriel de deux complexes $C$ et $D$ est le complexe $C {\otimes} D$ de terme $(C \otimes D)_n = \bigoplus_{i + j = n} C_i \otimes D_j,$ somme finie, dont le bord est défini sur chaque facteur par la règle des signes $\partial(c \otimes d) = \partial c \otimes d + (-1)^i\, c \otimes \partial d$ pour $c \in C_i$ , c'est-à-dire $\partial \otimes \mathrm{id} + (-1)^i\, \mathrm{id} \otimes \partial$ sur $C_i \otimes D_j$ (Produit tensoriel, (ii)). Un module $N$ est vu comme un complexe nul hors du degré $0$ ; alors $C \otimes N$ est le complexe de terme $C_n \otimes N$ et de bord $\partial \otimes \mathrm{id}$ .

Énoncé

(i) $\partial \circ \partial = 0$ sur $C \otimes D$ . Si $f : C \to C'$ et $g : D \to D'$ sont des morphismes de complexes, $f \otimes g$ , défini par $f_i \otimes g_j$ sur $C_i \otimes D_j$ , en est un. Si $P$ est une homotopie de $f$ à $f'$ , au sens de Complexes de chaînes, (iii), alors $P \otimes g$ , défini par $c \otimes d \mapsto Pc \otimes g(d)$ , est une homotopie de $f \otimes g$ à $f' \otimes g$ ; de même, si $Q$ est une homotopie de $g$ à $g'$ , l'application $c \otimes d \mapsto (-1)^i f(c) \otimes Q(d)$ , pour $c \in C_i$ , est une homotopie de $f \otimes g$ à $f \otimes g'$ .

(ii) Produit des classes. Pour des cycles $z \in C_i$ et $w \in D_j$ , $z \otimes w$ est un cycle de degré $i + j$ , dont la classe ne dépend que de $[z]$ et $[w]$ . On obtient une application linéaire, le produit croisé, $\begin{aligned} \times : {H_i}(C) \otimes H_j(D) &\to H_{i+j}(C \otimes D), \\ [z] \otimes [w] &\mapsto [z \otimes w], \end{aligned}$ naturelle : $(f \otimes g)_* \circ \times = \times \circ (f_* \otimes g_*)$ .

Démonstration

(i) Pour $c \in C_i$ , $\begin{aligned} \partial\partial(c \otimes d) &= \partial\partial c \otimes d + (-1)^{i-1}\partial c \otimes \partial d \\ &\quad + (-1)^i\partial c \otimes \partial d + c \otimes \partial\partial d \\ &= 0. \end{aligned}$ Comme $f$ et $g$ conservent les degrés et commutent au bord, $\partial(f(c) \otimes g(d)) = f(\partial c) \otimes g(d) + (-1)^i f(c) \otimes g(\partial d)$ , ce qui est l'image de $\partial(c \otimes d)$ .

Pour l'homotopie $P$ , qui élève le degré de $1$ , $\begin{aligned} &\partial(Pc \otimes gd) \\ &\quad + (P \otimes g)\big(\partial c \otimes d + (-1)^i c \otimes \partial d\big) \\ &= \partial Pc \otimes gd + (-1)^{i+1} Pc \otimes \partial gd \\ &\quad + P\partial c \otimes gd + (-1)^i Pc \otimes g\partial d, \end{aligned}$ et, comme $\partial g = g\partial$ , il reste $(\partial P + P\partial)c \otimes gd = (f'c - fc) \otimes gd$ . Le calcul est le même pour $Q$ , où le signe $(-1)^i$ compense celui de la règle des signes.

(ii) $\partial(z \otimes w) = \partial z \otimes w \pm z \otimes \partial w = 0$ . Si l'on remplace $z$ par $z + \partial c$ , le cycle change de $\partial c \otimes w = \partial(c \otimes w)$ ; si l'on remplace $w$ par $w + \partial d$ , il change de $z \otimes \partial d = (-1)^i\partial(z \otimes d)$ . L'application $([z], [w]) \mapsto [z \otimes w]$ est donc bien définie et bilinéaire, et l'on applique la propriété universelle (Produit tensoriel, (i)). La naturalité se lit sur $(f \otimes g)(z \otimes w) = f(z) \otimes g(w)$ .

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Remarque

Sans le signe $(-1)^i$ , on aurait $\partial\partial(c \otimes d) = 2\,\partial c \otimes \partial d$ , qui n'est pas nul en général : pour le complexe $C = D$ formé de $\mathbb Z$ en degrés $1$ et $0$ , de bord l'identité, et $c = d$ le générateur de degré $1$ , on trouverait $2\, e \otimes e \neq 0$ dans $\mathbb Z \otimes \mathbb Z \cong \mathbb Z$ . La règle des signes est celle du produit extérieur (Algèbre extérieure), où l'échange de deux facteurs de degrés $i$ et $j$ coûte $(-1)^{ij}$ .

Remarque

Le produit du complexe $C$ formé de $\mathbb Z$ en degrés $0$ et $1$ , de bord nul, par lui-même a pour termes $\mathbb Z$ , $\mathbb Z^2$ , $\mathbb Z$ en degrés $0$ , $1$ , $2$ , et un bord nul. Le complexe $C$ mime le cercle, avec un sommet et une arête ; le produit mime le tore, avec un sommet, deux arêtes et une face. C'est le complexe cellulaire du tore, au sens du chapitre Homologie cellulaire ; les théorèmes qui suivent justifient cette image pour l'homologie singulière sans passer par lui.

Repose sur

Produit tensoriel de modules

Sert à

La formule de Künneth algébrique Cône dans un convexe et contractions