La formule de Künneth algébrique

(i) Une suite exacte de complexes. Soient $Z$ et $B'$ les complexes de bord nul de termes $Z_i$ et $B'_i = B_{i-1}$ en degré $i$. L'inclusion $Z \to C$ et le bord $\partial : C \to B'$ sont des morphismes de complexes, puisque $\partial\partial = 0$, et la suite $0 \to Z \to C \xrightarrow{\partial} B' \to 0$ est exacte en chaque degré.

Tensorisons par $D$ (Produit de complexes, (i)). En bidegré $(i, j)$, la suite $0 \to Z_i \otimes D_j \to C_i \otimes D_j \to B_{i-1} \otimes D_j \to 0$ est exacte, $D_j$ étant plat (Modules plats, (i)) : on obtient une suite exacte courte de complexes $$0 \to Z \otimes D \to C \otimes D \to B' \otimes D \to 0.$$

Homologie des termes extrêmes. Le complexe $Z \otimes D$ est la somme directe des complexes $Z_i \otimes D$, décalés de $i$, dont le bord est $(-1)^i\, \mathrm{id} \otimes \partial$ ; le signe ne change ni les noyaux ni les images. Comme $Z_i$ est plat, le point (i) du nœud Modules plats donne $$H_n(Z \otimes D) \cong \bigoplus_{i+j=n} Z_i \otimes H_j(D),$$ par $z \otimes [w] \mapsto [z \otimes w]$, et de même $H_n(B' \otimes D) \cong \bigoplus_{i+j=n} B_{i-1} \otimes H_j(D)$.

Le morphisme de connexion. Soient $b = \partial c \in B_{i-1}$, avec $c \in C_i$, et $w$ un cycle de $D_j$. L'élément $c \otimes w$ relève $b \otimes w$, et $$\partial(c \otimes w) = \partial c \otimes w = b \otimes w,$$ vu dans $Z_{i-1} \otimes D_j$. Le morphisme de connexion (Suite exacte longue) envoie donc $b \otimes [w]$ sur $\iota(b) \otimes [w]$ : sur chaque facteur, c'est $\iota \otimes \mathrm{id} : B_{i-1} \otimes H_j(D) \to Z_{i-1} \otimes H_j(D)$, ces éléments engendrant $B_{i-1} \otimes H_j(D)$.

Conclusion. La suite exacte longue donne la suite exacte $$\begin{aligned} 0 &\to \operatorname{Coker}\delta_{n+1} \to H_n(C \otimes D) \\ &\to \operatorname{Ker}\delta_n \to 0. \end{aligned}$$ Par l'exactitude à droite appliquée à $B_i \to Z_i \to H_i(C) \to 0$ (Produit tensoriel, (iv)), le conoyau de $\iota \otimes \mathrm{id}$ sur le facteur $(i, j)$ est $H_i(C) \otimes H_j(D)$, et la flèche induite envoie $[z] \otimes [w]$ sur $[z \otimes w]$ : c'est le produit croisé. Le noyau de $\delta_n$ est la somme des $T_{i,j}$ pour $i + j = n - 1$.

Les deux flèches sont naturelles : la première est le produit croisé, et la seconde est induite par $\partial \otimes \mathrm{id}$.

(ii) Si $H_j(D)$ est plat, $\iota \otimes \mathrm{id}$ est injectif. Si la projection $q : Z_i \to H_i(C)$ a une section $s$, l'application $r = \mathrm{id} - s \circ q$ envoie $Z_i$ dans $B_i$ et vaut l'identité sur $B_i$, comme au nœud Groupes projectifs, (ii) ; alors $(r \otimes \mathrm{id}) \circ (\iota \otimes \mathrm{id}) = \mathrm{id}$, et $\iota \otimes \mathrm{id}$ est injectif. Pour $R = \mathbb Z$ et $H_i(C)$ projectif, la section existe par ce même point.

Sur un corps, tous les espaces vectoriels sont plats (Modules plats, (iv)), et $T_{i,j} = 0$.

(iii) Comme $B_{i-1}$ est projectif, $\partial : C_i \to B_{i-1}$ a une section, et $Z_i$ est un rétracte de $C_i$ par une application $r_i$ égale à l'identité sur $Z_i$ (Groupes projectifs, (ii)) ; il est projectif (même nœud, (i)). Les $Z_i$, les $B_i$ et les $D_j$ sont donc plats (Modules plats, (ii)), et (i) s'applique. La suite $0 \to B_i \to Z_i \to H_i(C) \to 0$ est une présentation projective, et $T_{i,j}$ est, par définition, $\operatorname{Tor}(H_i(C), H_j(D))$ (Le groupe Tor).

Scindage. Soit $\rho_C : C_i \to H_i(C)$ la composée de $r_i$ et de la projection. Pour $c \in C_{i+1}$, $\partial c$ est un bord, donc un cycle, et $\rho_C(\partial c) = [\partial c] = 0$ : $\rho_C$ est un morphisme de $C$ dans le complexe $H(C)$ de bord nul. On construit de même $\rho_D$, les bords de $D$ étant projectifs.

Le morphisme de complexes $\rho_C \otimes \rho_D : C \otimes D \to H(C) \otimes H(D)$ (Produit de complexes, (i)) arrive dans un complexe de bord nul, et induit une application $H_n(C \otimes D) \to \bigoplus_{i+j=n} H_i(C) \otimes H_j(D)$. Elle envoie $[z \otimes w]$ sur $\rho_C(z) \otimes \rho_D(w) = [z] \otimes [w]$, puisque $r_i$ est l'identité sur les cycles : c'est un inverse à gauche du produit croisé.