Définition 2Formule de Künneth

Le groupe Tor

Dans ce nœud, $R = \mathbb Z$ . Soit $0 \to L \xrightarrow{\iota} P \xrightarrow{\pi} A \to 0$ une présentation projective d'un groupe abélien $A$ , au sens du nœud Le groupe Ext : une suite exacte courte où $P$ est projectif. Pour un groupe abélien $G$ , on pose $\operatorname{Tor}_P(A, G) = \operatorname{Ker}(\iota \otimes \mathrm{id}),$ noyau de $\iota \otimes \mathrm{id} : L \otimes G \to P \otimes G$ . Par l'exactitude à droite (Produit tensoriel, (iv)), la suite $L \otimes G \to P \otimes G \to A \otimes G \to 0$ est exacte : ce groupe mesure le défaut d'injectivité de sa première flèche.

Pour un entier $n \geqslant 1$ , on note $G[n] = \{g \in G : ng = 0\}$ .

Énoncé

(i) Indépendance. Soient deux présentations projectives de $A$ , notées comme ci-dessus et avec des primes. Il existe un morphisme $f : P \to P'$ tel que $\pi' \circ f = \pi$ ; il envoie $L$ dans $L'$ , et $f|_L \otimes \mathrm{id}$ induit un isomorphisme de $\operatorname{Tor}_P(A, G)$ sur $\operatorname{Tor}_{P'}(A, G)$ , qui ne dépend pas de $f$ . On note ${\operatorname{Tor}}(A, G)$ ce groupe Tor, défini à isomorphisme canonique près.

(ii) Calculs. $\operatorname{Tor}(A, G) = 0$ si $A$ est projectif ou si $G$ est plat. Pour $n \geqslant 1$ , $\operatorname{Tor}(\mathbb Z/n\mathbb Z, G) \cong G[n].$ Si $A$ et $A'$ ont des présentations projectives, $\operatorname{Tor}(A \oplus A', G) \cong \operatorname{Tor}(A, G) \oplus \operatorname{Tor}(A', G)$ . En particulier $\operatorname{Tor}(\mathbb Z/m\mathbb Z, \mathbb Z/n\mathbb Z) \cong \mathbb Z/d\mathbb Z$ , où $d$ est le pgcd de $m$ et $n$ .

Démonstration

(i) Le morphisme $f$ existe parce que $P$ est projectif et $\pi'$ surjectif, et il envoie $L$ dans $L'$ comme au nœud Le groupe Ext. On identifie $L$ et $L'$ à leurs images. Comme $\iota' \circ f|_L = f \circ \iota$ , on a $(\iota' \otimes \mathrm{id}) \circ (f|_L \otimes \mathrm{id}) = (f \otimes \mathrm{id}) \circ (\iota \otimes \mathrm{id})$ (Produit tensoriel, (ii)), et $f|_L \otimes \mathrm{id}$ envoie le noyau de $\iota \otimes \mathrm{id}$ dans celui de $\iota' \otimes \mathrm{id}$ .

Si $g$ est un autre relèvement, $\pi' \circ (f - g) = 0$ , et $f - g$ s'écrit $\iota' \circ k$ , avec $k : P \to L'$ . Alors $f|_L - g|_L = k \circ \iota$ , d'où, pour $\xi \in \operatorname{Ker}(\iota \otimes \mathrm{id})$ , $\begin{aligned} &(f|_L \otimes \mathrm{id})(\xi) - (g|_L \otimes \mathrm{id})(\xi) \\ &= (k \otimes \mathrm{id})\big((\iota \otimes \mathrm{id})(\xi)\big) = 0. \end{aligned}$

Le morphisme induit ne dépend donc que des deux présentations. La composée de deux relèvements en est un, et l'identité relève $\pi$ ; avec un relèvement $f' : P' \to P$ de $\pi'$ , on obtient deux morphismes réciproques l'un de l'autre, comme pour $\operatorname{Ext}$ .

(ii) Si $A$ est projectif, $0 \to 0 \to A \xrightarrow{\mathrm{id}} A \to 0$ est une présentation projective, et $0 \otimes G = 0$ . Si $G$ est plat, $\iota \otimes \mathrm{id}$ est injectif, $\iota$ l'étant, par la définition de la platitude sous sa seconde forme (Modules plats).

Pour $\mathbb Z/n\mathbb Z$ , on prend la présentation $0 \to \mathbb Z \xrightarrow{\times n} \mathbb Z \to \mathbb Z/n\mathbb Z \to 0$ ; par Produit tensoriel, (iii), $(\times n) \otimes \mathrm{id}_G$ devient la multiplication par $n$ sur $G$ , de noyau $G[n]$ .

Pour une somme directe, la somme de deux présentations projectives en est une de $A \oplus A'$ (Groupes projectifs, (i)), le produit tensoriel commute aux sommes directes, et le noyau d'une somme directe de morphismes est la somme directe des noyaux. Enfin, $(\mathbb Z/n\mathbb Z)[m]$ est formé des classes des multiples de $n/d$ , et il est cyclique d'ordre $d$ .

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Remarque

Quelques valeurs : $\operatorname{Tor}(\mathbb Z/2\mathbb Z, \mathbb Z/2\mathbb Z) \cong \mathbb Z/2\mathbb Z$ , $\operatorname{Tor}(\mathbb Z/2\mathbb Z, \mathbb Z/3\mathbb Z) = 0$ , $\operatorname{Tor}(\mathbb Z/4\mathbb Z, \mathbb Z/6\mathbb Z) \cong \mathbb Z/2\mathbb Z$ , et $\operatorname{Tor}(\mathbb Z/n\mathbb Z, \mathbb Q) = 0$ , $\mathbb Q$ étant plat. Sur ces exemples, $\operatorname{Tor}(A, G) \cong \operatorname{Tor}(G, A)$ ; c'est vrai en général, ce que l'on ne démontre pas ici. Le groupe ne voit que la torsion des deux arguments.

Remarque

La comparaison avec le nœud Le groupe Ext éclaire les deux constructions : la multiplication par $n$ sur $G$ a pour conoyau $\operatorname{Ext}(\mathbb Z/n\mathbb Z, G) = G/nG$ et pour noyau $\operatorname{Tor}(\mathbb Z/n\mathbb Z, G) = G[n]$ . Le groupe $\operatorname{Ext}$ mesure le défaut d'exactitude de $\operatorname{Hom}(-, G)$ , le groupe $\operatorname{Tor}$ celui de $- \otimes G$ , et la torsion de l'homologie réapparaît dans le second comme dans le premier.

Repose sur

Modules plats

Sert à

La formule de Künneth algébrique