Modules plats

(i) La suite tensorisée est exacte en $F \otimes M$ et en $F \otimes M''$ par l'exactitude à droite (Produit tensoriel, (iv)), et la première flèche est injective puisque $F$ est plat.

Pour l'homologie, notons $Z_n$ et $B_n$ les cycles et les bords de $D$. La suite $0 \to Z_n \to D_n \xrightarrow{\partial} B_{n-1} \to 0$ est exacte, et devient exacte après tensorisation par $F$ ; de plus, $F \otimes B_{n-1} \to F \otimes D_{n-1}$ est injective. Comme $\mathrm{id} \otimes \partial_n$ est la composée $F \otimes D_n \to F \otimes B_{n-1} \to F \otimes D_{n-1}$, son noyau est l'image de $F \otimes Z_n$, qui s'identifie à $F \otimes Z_n$.

L'image de $\mathrm{id} \otimes \partial_{n+1}$ est celle de $F \otimes B_n$, puisque $F \otimes D_{n+1} \to F \otimes B_n$ est surjective. Ainsi $H_n(F \otimes D)$ est le conoyau de $F \otimes B_n \to F \otimes Z_n$, c'est-à-dire $F \otimes H_n(D)$, par l'exactitude à droite appliquée à $B_n \to Z_n \to H_n(D) \to 0$.

(ii) Par Produit tensoriel, (iii), $R^{(S)} \otimes M \cong M^{(S)}$, et $\mathrm{id} \otimes u$ devient l'application qui applique $u$ à chaque coordonnée, injective si $u$ l'est.

Soient $s : Q \to P$ et $r : P \to Q$ linéaires, avec $r \circ s = \mathrm{id}_Q$ et $P$ plat. Si $(\mathrm{id}_Q \otimes u)(\xi) = 0$, alors $$\begin{aligned} &(\mathrm{id}_P \otimes u)\big((s \otimes \mathrm{id})(\xi)\big) \\ &= (s \otimes \mathrm{id})\big((\mathrm{id}_Q \otimes u)(\xi)\big) = 0, \end{aligned}$$ puisque les deux composées valent $s \otimes u$. Donc $(s \otimes \mathrm{id})(\xi) = 0$, et $\xi = (r \otimes \mathrm{id})(s \otimes \mathrm{id})(\xi) = 0$.

Pour $R = \mathbb Z$, un groupe projectif $P$ est l'image du morphisme canonique $\mathbb Z^{(P)} \to P$, $\sum n_x x \mapsto \sum n_x x$ ; par projectivité, ce morphisme a une section qui est elle-même un morphisme (Groupes projectifs, (ii)), si bien que $P$ est un rétracte d'un groupe libre. Aucun choix n'intervient, la projectivité étant l'hypothèse.

(iii) Écrivons $\xi = \sum_k a_k \otimes m_k$. Dire que $(\mathrm{id} \otimes u)(\xi) = 0$, c'est dire que $\sum_k (a_k, u(m_k))$ appartient à $\mathrm{Rel}(A, N)$, donc est une combinaison finie des générateurs de ce sous-module. Soit $A_0$ le sous-module engendré par les $a_k$ et par les éléments $x$, $x'$ de $A$ qui figurent dans ces générateurs, en nombre fini.

Chacun de ces générateurs est alors un générateur de $\mathrm{Rel}(A_0, N)$, puisque $x + x'$ et $rx$ appartiennent à $A_0$. L'élément $\xi_0 = \sum_k a_k \otimes m_k$ de $A_0 \otimes M$ convient.

(iv) Soient $B$ un sous-groupe de $\mathbb Z^{(S)}$, $u : M \to N$ injectif, et $\xi \in B \otimes M$ tel que $(\mathrm{id} \otimes u)(\xi) = 0$. Par (iii), il existe un sous-groupe $B_0$ de $B$ engendré par des éléments $b_1, \dots, b_r$ et un $\xi_0 \in B_0 \otimes M$, d'image $\xi$, tel que $(\mathrm{id} \otimes u)(\xi_0) = 0$.

Les supports des $b_i$ sont contenus dans une partie finie $S_0$ de $S$, et $B_0$ est un sous-groupe de $\mathbb Z^{(S_0)}$, lui-même isomorphe à un ${\mathbb Z^k}$ par une numérotation de $S_0$. Par le nœud Groupes projectifs, (iii), $B_0$ est isomorphe à un $\mathbb Z^m$, donc plat par (ii) : $\xi_0 = 0$, et son image $\xi$ est nulle.

Sur un corps, on raisonne de même : le sous-espace $B_0$ engendré par une famille finie a une base finie (Dimension, (i)), il est isomorphe à un $K^m$, donc plat.