Produit tensoriel de modules

(i) Les relations disent exactement que $(x, y) \mapsto x \otimes y$ est bilinéaire. Soit $\beta$ bilinéaire. L'application linéaire de $R^{(M \times N)}$ dans $P$ qui prolonge $\beta$ est nulle sur les générateurs de $\mathrm{Rel}(M, N)$, par bilinéarité, donc sur ce sous-module ; elle passe au quotient (Module) en $\bar\beta$. L'unicité vient de ce que les $x \otimes y$ engendrent $M \otimes N$.

(ii) L'application $(x, y) \mapsto u(x) \otimes v(y)$ est bilinéaire, et (i) donne $u \otimes v$. Les identités annoncées sont vraies sur les générateurs $x \otimes y$, et deux applications linéaires qui coïncident sur des générateurs sont égales.

(iii) L'application bilinéaire $(r, y) \mapsto ry$ induit $R \otimes N \to N$, et $y \mapsto 1 \otimes y$ est linéaire, par les relations. Les deux composées sont l'identité sur des générateurs, puisque $r \otimes y = 1 \otimes ry$. La symétrie se traite de même, avec les applications bilinéaires $(x, y) \mapsto y \otimes x$ et $(y, x) \mapsto x \otimes y$.

Pour les sommes directes, l'application $((x_i), y) \mapsto (x_i \otimes y)$ est bilinéaire, à valeurs dans la somme directe puisque presque tous les $x_i$ sont nuls. En sens inverse, on envoie $x_i \otimes y$, dans le facteur d'indice $i$, sur $\iota_i(x_i) \otimes y$, où $\iota_i$ est l'inclusion de $M_i$ ; les composées sont l'identité sur des générateurs, puisque $(x_i) \otimes y$ est la somme finie des $\iota_i(x_i) \otimes y$.

Avec $R^{(S)} = \bigoplus_s R$ et $R \otimes N \cong N$, on obtient $R^{(S)} \otimes N \cong N^{(S)}$ ; pour $N = R^{(T)}$, le module $\bigoplus_s R^{(T)}$ est $R^{(S \times T)}$, et $s \otimes t$ correspond à $(s, t)$. De même, $\mathbb Z^{(S)} \otimes_{\mathbb Z} R \cong \bigoplus_s (\mathbb Z \otimes_{\mathbb Z} R) \cong R^{(S)}$, et ces isomorphismes sont R-linéaires pour la loi indiquée, bien définie par (ii) appliqué à $\mathrm{id}_A \otimes (s \mapsto rs)$.

(iv) L'application $v \otimes \mathrm{id}$ est surjective, puisque chaque générateur $x'' \otimes y$ s'écrit $v(x) \otimes y$. La composée $(v \otimes \mathrm{id}) \circ (u \otimes \mathrm{id}) = (v \circ u) \otimes \mathrm{id}$ est nulle. Soit $I$ l'image de $u \otimes \mathrm{id}$ ; il reste à voir que l'application $w : (M \otimes N)/I \to M'' \otimes N$ induite est injective.

Pour $x'' \in M''$ et $y \in N$, la classe de $x \otimes y$ modulo $I$ est la même pour tous les $x$ tels que $v(x) = x''$ : deux tels éléments diffèrent d'un $u(x')$, et $u(x') \otimes y \in I$. Cette classe définit donc une application de $M'' \times N$ dans $(M \otimes N)/I$, sans qu'il faille choisir d'antécédent ; elle est bilinéaire, et induit par (i) un inverse à gauche de $w$, comme on le vérifie sur des générateurs.

Pour $\mathbb Z/n\mathbb Z$, on applique ce qui précède à la suite exacte $\mathbb Z \xrightarrow{\times n} \mathbb Z \to \mathbb Z/n\mathbb Z \to 0$ : par (iii), $(\times n) \otimes \mathrm{id}_A$ devient la multiplication par $n$ sur $\mathbb Z \otimes A \cong A$, dont le conoyau est $A/nA$.