ChapitreHomologie

Formule de Künneth

L'homologie d'un produit $X \times Y$ se calcule à partir de celles des facteurs. Le chapitre construit le produit tensoriel des groupes abéliens et des complexes, puis démontre la formule de Künneth algébrique : pour un complexe $C$ à cycles et bords plats et un complexe $D$ à termes $D_j$ plats, l'homologie du produit tensoriel est formée des produits $H_i(C) \otimes H_j(D)$, corrigés par un terme de torsion, qui est le groupe $\operatorname{Tor}$ pour des complexes de groupes $\mathbb Z^k$ ; sur un corps, la correction disparaît. Le théorème d'Eilenberg-Zilber, démontré par la méthode des modèles acycliques, identifie à homotopie près le complexe singulier de $X \times Y$ au produit tensoriel de ceux de $X$ et de $Y$, par l'application d'Alexander-Whitney. On en tire la formule de Künneth en homologie singulière, et l'homologie du tore $T^n = (S^1)^n$.

En cohomologie, le produit croisé $a \times b = p_1^*a \smile p_2^*b$ se lit sur les simplexes par la même application d'Alexander-Whitney. La méthode des modèles donne alors la commutativité graduée du produit cup, admise au chapitre Produit cup, et Mayer-Vietoris la cohomologie de $X \times S^1$ pour tout espace $X$. L'anneau de cohomologie du tore est l'algèbre extérieure sur $n$ générateurs de degré $1$ ; il en découle que toute application d'une sphère $S^m$, $m \geqslant 2$, dans $T^n$ est nulle en cohomologie, et qu'un endomorphisme linéaire du tore a pour degré le déterminant de sa matrice. Aucune forme du choix n'intervient, sauf pour la formule de Künneth en cohomologie sur un corps, qui emploie le lemme de Zorn.