La classe fondamentale du cercle

(i) Si $\tilde\gamma$ est un relèvement, $\tilde\gamma + m$ en est un pour tout $m \in \mathbb Z$, puisque $p(y + m) = p(y)$, et c'est le seul qui part de $\tilde\gamma(e_0) + m$ (Relèvement des chemins) ; comme les relèvements partent d'un point de $\tilde\gamma(e_0) + \mathbb Z$, ce sont les $\tilde\gamma + m$, et $a(\gamma)$ n'en dépend pas.

Soit $\sigma : \Delta_2 \to S^1$. Le simplexe $\Delta_2$, convexe, est simplement connexe et localement connexe par arcs, et $\sigma$ a un relèvement $\tilde\sigma$ (Critère de relèvement, (ii)), comme au nœud Revêtement double. Ses faces relèvent celles de $\sigma$ ; avec $x_i = \tilde\sigma(e_i)$, $$\begin{aligned} (\delta a)(\sigma) &= a(\sigma \circ \delta_0) - a(\sigma \circ \delta_1) \\ &\quad + a(\sigma \circ \delta_2) \\ &= \big(\lfloor x_2 \rfloor - \lfloor x_1 \rfloor\big) \\ &\quad - \big(\lfloor x_2 \rfloor - \lfloor x_0 \rfloor\big) \\ &\quad + \big(\lfloor x_1 \rfloor - \lfloor x_0 \rfloor\big) = 0. \end{aligned}$$ Le lacet $z$ a pour relèvement $(1 - s, s) \mapsto s$, d'où $a(z) = \lfloor 1 \rfloor - \lfloor 0 \rfloor = 1$.

(ii) Le chemin $z$ est un cycle, puisque $\partial z = p(1) - p(0) = 0$. Les groupes $H^1(S^1; \mathbb Z)$ et $H_1(S^1)$ sont isomorphes à $\mathbb Z$ (Produit par le cercle, (iii), et Künneth en homologie, (iii)). Si $\theta = m\zeta$ pour un générateur $\zeta$, alors $1 = \langle \theta, [z] \rangle = m\langle \zeta, [z] \rangle$, et $m = \pm 1$ ; de même pour $[z]$. Comme $\omega$ engendre aussi $H^1(S^1; \mathbb Z)$, $\omega = \pm\theta$.

Pour un anneau $R$, la construction de $\omega$ au nœud Produit par le cercle est faite avec des cochaînes à valeurs entières, lues dans $R$. La lecture dans $R$, induite par $\mathbb Z \to R$, définit un morphisme de la suite exacte courte des cochaînes de Mayer-Vietoris à coefficients entiers vers celle à coefficients dans $R$ ; par la naturalité du morphisme de connexion (Complexes de cochaînes, (ii)), elle commute à $\kappa$, de sorte qu'un cocycle entier $w$ qui représente $\omega$ à coefficients entiers la représente aussi à coefficients dans $R$. L'égalité $w = \pm a + \delta\beta$ entre cochaînes entières reste vraie dans $R$, et $H^1(S^1; R) = R\,\omega = R\,\theta$.

(iii) L'application $g_c \circ p^n$, où $p^n : \mathbb R^n \to T^n$ applique $p$ à chaque coordonnée, est $x \mapsto p(\sum_j c_jx_j)$, continue. L'application $p^n$ est continue, surjective et ouverte, puisque $p$ l'est (Groupe fondamental du cercle, preuve de (i)) et que l'image d'un produit d'ouverts est le produit des images ; par le critère du nœud Revêtement double, $g_c$ est continue.

Pour $y \in T^n$, posons $f(y) = \lfloor \sum_j c_j\tilde y_j \rfloor - \sum_j c_j\lfloor \tilde y_j \rfloor$, où les $\tilde y_j$ sont des réels d'images $p_j(y)$ : changer $\tilde y_j$ de $m$ change les deux termes de $c_jm$, et $f$ est une $0$-cochaîne bien définie. Pour un chemin $\gamma$ de $T^n$, de composantes relevées en $\tilde\gamma_j$, le chemin $\sum_j c_j\tilde\gamma_j$ relève $g_c \circ \gamma$, et $$\begin{aligned} &(g_c^\# a)(\gamma) - \sum_j c_j\,(p_j^\# a)(\gamma) \\ &= f(\gamma(e_1)) - f(\gamma(e_0)) = (\delta f)(\gamma). \end{aligned}$$ Donc $g_c^\# a - \sum_j c_j\, p_j^\# a$ est un cobord. Ces calculs, faits dans $\mathbb Z$, restent vrais dans $R$.