Cohomologie d'un produit par le cercle

(i) La restriction de $p$ à $]{-\frac12}, \frac12[$ est un homéomorphisme sur $U$, comme on l'a vu au nœud Bouquet de deux cercles ; la translation de $\frac12$, qui passe au quotient, envoie $U$ sur $V$, et les restrictions de $p$ à $]0, \frac12[$ et à $]\frac12, 1[$ sont des homéomorphismes sur $J_1$ et $J_2$. Chaque $W$ est ainsi homéomorphe à un intervalle ouvert, convexe, et se contracte sur l'un de ses points $w$ par une homotopie $G$ (Invariance par homotopie, (ii)).

L'application $s : x \mapsto (x, w)$ vérifie $\pi \circ s = \mathrm{id}_X$, et $s \circ \pi$ est homotope à l'identité de $X \times W$ par $((x, y), \lambda) \mapsto (x, G(y, \lambda))$, continue puisque ses composantes le sont. Par le nœud Invariance par homotopie, (ii), $\pi^*$ est un isomorphisme, de réciproque $s^*$.

Un simplexe singulier de $X \times (U \cap V)$ a une image connexe par arcs, contenue dans la réunion des ouverts disjoints $X \times J_1$ et $X \times J_2$, donc dans l'un d'eux. Les cochaînes de $X \times (U \cap V)$ sont donc les couples de cochaînes de $X \times J_1$ et de $X \times J_2$, avec le cobord composante par composante, comme au nœud Cohomologie des sphères.

(ii) La suite de Mayer-Vietoris (Mayer-Vietoris) du recouvrement de $X \times S^1$ par $X \times U$ et $X \times V$ contient le segment exact suivant, où l'on note $\iota_U$ et $\iota_V$ les inclusions de $X \times U$ et de $X \times V$ dans $X \times S^1$, appelées $k$ et $l$ au nœud cité, pour ne pas les confondre avec le degré $k$ : $$\begin{aligned} &H^{k-1}(X \times U) \oplus H^{k-1}(X \times V) \\ &\xrightarrow{i^* - j^*} H^{k-1}\big(X \times (U \cap V)\big) \\ &\xrightarrow{\kappa} H^k(X \times S^1) \\ &\xrightarrow{(\iota_U^*, \iota_V^*)} H^k(X \times U) \oplus H^k(X \times V) \\ &\xrightarrow{i^* - j^*} H^k\big(X \times (U \cap V)\big). \end{aligned}$$ Par (i), un élément de $H^k(X \times U) \oplus H^k(X \times V)$ s'écrit $(\pi^*u, \pi^*u')$, et son image par $i^* - j^*$ est le couple $(\pi^*(u - u'), \pi^*(u - u'))$ sur $X \times J_1$ et $X \times J_2$, puisque $\pi$ commute aux inclusions.

Lecture de la suite. Posons $\lambda(v) = \kappa(\pi^*v, 0)$, pour $v \in H^{k-1}(X)$. L'image de $i^* - j^*$ en degré $k - 1$ est formée des couples $(\pi^*w, \pi^*w)$ : elle ne contient $(\pi^*v, 0)$ que si $v = 0$, et tout couple $(\pi^*v', \pi^*v'')$ lui est congru à $(\pi^*(v' - v''), 0)$. Ainsi $\lambda$ est injective, d'image celle de $\kappa$.

Soit $s : X \to X \times S^1$, $x \mapsto (x, p(0))$, à valeurs dans $X \times U$. Si $\xi \in H^k(X \times S^1)$, le couple $(\iota_U^*\xi, \iota_V^*\xi)$ est dans le noyau de $i^* - j^*$, donc de la forme $(\pi^*u, \pi^*u)$, avec $u = s^*\xi$ par (i). Le noyau de $(\iota_U^*, \iota_V^*)$, qui est l'image de $\lambda$, est donc celui de $s^*$. Comme $s^* \circ \pi^* = \mathrm{id}$, on obtient $$\begin{aligned} H^k(X \times S^1) &= \pi^*H^k(X) \\ &\quad \oplus \lambda\big(H^{k-1}(X)\big), \end{aligned}$$ $\pi^*$ et $\lambda$ étant injectives.

Calcul de $\lambda$. Soit $\varphi$ un cocycle qui représente $v$, et $g$ la fonction sur $U$ égale à $1$ sur $J_1$ et à $0$ ailleurs. Suivons la définition de $\kappa$ (Complexes de cochaînes, (ii), et la démonstration de Mayer-Vietoris). La cochaîne de $X \times (U \cap V)$ égale à $\pi^\#\varphi$ sur $X \times J_1$ et à $0$ sur $X \times J_2$ représente $(\pi^*v, 0)$ ; elle est l'image du couple $$\ell = \big(\pi^\#\varphi \smile q^\#g,\ 0\big),$$ puisque $(\pi^\#\varphi \smile q^\#g)(\sigma) = \varphi(\pi \circ \sigma)\, g(q(\sigma(e_{k-1})))$ vaut $\varphi(\pi \circ \sigma)$ sur $X \times J_1$ et $0$ sur $X \times J_2$.

Par la formule de Leibniz (Produit cup, (ii)), $\delta(\pi^\#\varphi \smile q^\#g) = (-1)^{k-1}\pi^\#\varphi \smile q^\#\delta g$. Donc $\lambda(v)$ correspond, dans la cohomologie des petites cochaînes (Mayer-Vietoris, (i)), à la classe de $(-1)^{k-1}\pi^\#\varphi \smile q^\#c$, où $c$ est la petite cochaîne de degré $1$ de $S^1$ égale à $\delta g$ sur les chemins de $U$ et à $0$ sur ceux de $V$. Elle est bien définie : un chemin de $U \cap V$ reste dans $J_1$ ou dans $J_2$, où $g$ est constante, et $\delta g$ y est nul. Le produit cup de petites cochaînes est défini par la même formule, les faces d'un petit simplexe étant petites.

Pour $X$ réduit à un point et $\varphi = 1$, le même calcul montre que $c$ représente $\omega = \kappa[g_1]$ dans la cohomologie des petites cochaînes de $S^1$. Soit $w$ un cocycle de $S^1$ qui représente $\omega$ : la restriction $\jmath^\# w$ de $w$ aux petits chemins s'écrit $c + \delta\beta$, avec $\beta$ de degré $0$, toutes les cochaînes de degré $0$ étant petites.

Comme $\varphi$ est un cocycle, $\pi^\#\varphi \smile q^\#\delta\beta = (-1)^{k-1}\delta(\pi^\#\varphi \smile q^\#\beta)$, et $$\begin{aligned} &(-1)^{k-1}\pi^\#\varphi \smile q^\#c \\ &\equiv (-1)^{k-1}\jmath^\#\big(\pi^\#\varphi \smile q^\#w\big) \end{aligned}$$ modulo les cobords de petites cochaînes. Ainsi $\lambda(v) = (-1)^{k-1}\pi^*v \smile q^*\omega$. Puisque $\lambda$ est injective et que le signe ne dépend que de $k$, on conclut que $(u, v) \mapsto \pi^*u + \pi^*v \smile q^*\omega$ est bijective. Toutes les flèches sont R-linéaires.

Enfin $\pi^*u = u \times 1$ et $\pi^*v \smile q^*\omega = v \times \omega$, par définition du produit croisé (Produit croisé, (i)).

(iii) On applique (ii) à un point $X$, dont la cohomologie est $R$ en degré $0$ et nulle ailleurs (Cohomologie singulière, (ii)) ; $X \times S^1$ s'identifie à $S^1$, $q$ à l'identité, et $\pi^*1 = 1$.