L'anneau de cohomologie du tore

(i) Récurrence sur $n$. Pour $n = 1$, $H^0(S^1; R) = R \cdot 1$ et $H^1(S^1; R) = R\,\theta$, les autres groupes étant nuls (Produit par le cercle, (iii), et Classe du cercle, (ii)).

Pour $n \geqslant 2$, on identifie $T^n$ à $T^{n-1} \times S^1$ (Künneth en homologie) ; la projection $\pi$ sur $T^{n-1}$ a pour composantes $p_1, \dots, p_{n-1}$, et la projection $q$ sur $S^1$ est $p_n$. Par le nœud Produit par le cercle, (ii), et puisque $\omega = \pm\theta$, $H^k(T^n)$ est la somme directe de $\pi^*H^k(T^{n-1})$ et de $\pi^*H^{k-1}(T^{n-1}) \smile q^*\theta$, les deux applications étant injectives.

Les classes $\alpha_i$ de $T^{n-1}$ ont pour images par $\pi^*$ les classes $\alpha_i$ de $T^n$, puisque $p_i \circ \pi = p_i$, et $\pi^*$ respecte le produit cup (Produit cup, (iii)). Par l'hypothèse de récurrence, on obtient la base formée des $\alpha_I$, $I \subset \{1, \dots, n - 1\}$, et des $\alpha_J \smile \alpha_n = \alpha_{J \cup \{n\}}$, $|J| = k - 1$. Le rang vient de la relation de Pascal, comme au nœud Künneth en homologie.

(ii) On a $\alpha_i \smile \alpha_i = p_i^*(\theta \smile \theta)$, et $\theta \smile \theta \in H^2(S^1; R) = 0$. La commutativité graduée (Commutativité graduée, (iii)), pour deux classes de degré $1$, donne $\alpha_i \smile \alpha_j = -\alpha_j \smile \alpha_i$.

Par associativité, $\alpha_I \smile \alpha_J$ est le produit des $\alpha_i$, pour $i$ parcourant $I$ puis $J$, et échanger deux facteurs voisins le multiplie par $-1$. Si $I$ et $J$ ont un élément commun, on amène les deux facteurs égaux côte à côte, et le produit est nul. Sinon, on range les facteurs par échanges de voisins mal ordonnés ; chacun diminue de $1$ le nombre de paires mal ordonnées, dont le nombre initial est pair si et seulement si $s(I, J) = 1$ (Permutations, signature), d'où le signe.

(iii) L'application est une bijection linéaire par (i), elle respecte le produit des éléments de base par (ii), donc tout produit par bilinéarité, et elle envoie $e_\varnothing$ sur $1$. Le produit de $\Lambda_R(n)$, transporté de celui de $H^*(T^n; R)$, est associatif. Sur un corps, les formes $e_I^* = e_{i_1}^* \wedge \cdots \wedge e_{i_k}^*$ forment une base de l'algèbre des formes alternées et vérifient les mêmes règles (Algèbre extérieure, (i) et (ii)).