Applications à valeurs dans le tore

(i) Pour $m \geqslant 2$, $H^1(S^m; R) = 0$ (Cohomologie des sphères), donc $f^*\alpha_i = 0$ pour tout $i$. Comme $f^*$ respecte le produit cup (Produit cup, (iii)), $f^*\alpha_I = 0$ pour $I \neq \varnothing$, et les $\alpha_I$ engendrent $H^k(T^n; R)$ pour $k \geqslant 1$ (Anneau du tore, (i)).

Pour l'homologie, soit $e = [z] \times \cdots \times [z]$ le générateur de $H_n(T^n) \cong \mathbb Z$ du nœud Künneth en homologie, (iii), où $[z]$ engendre $H_1(S^1)$ (Classe du cercle, (ii)). Montrons que $\langle \alpha_{[n]}, e \rangle = 1$, par récurrence sur $n$. Sur $T^n = T^{n-1} \times S^1$, $\alpha_{[n]} = \pi^*\alpha_{[n-1]} \smile q^*\theta = \alpha_{[n-1]} \times \theta$, et $e = e' \times [z]$, où $e'$ est l'élément analogue de $H_{n-1}(T^{n-1})$ ; le point (ii) du nœud Produit croisé donne $$\langle \alpha_{[n]}, e \rangle = \langle \alpha_{[n-1]}, e' \rangle\, \langle \theta, [z] \rangle = 1,$$ par l'hypothèse de récurrence et $\langle \theta, [z] \rangle = 1$.

Pour $y \in H_n(S^n)$, écrivons $f_*y = c\,e$. Par la naturalité de l'évaluation (Cohomologie singulière, (iii)), $$c = \langle \alpha_{[n]}, f_*y \rangle = \langle f^*\alpha_{[n]}, y \rangle = 0.$$

(ii) Les composantes $p_i \circ f_M$ sont les applications $g_c$ du nœud Classe du cercle, pour $c = (M_{i1}, \dots, M_{in})$ : elles sont continues, donc $f_M$ aussi (Topologie produit), et $f_M^*\alpha_i = (p_i \circ f_M)^*\theta = \sum_j M_{ij}\,\alpha_j$ (Classe du cercle, (iii)).

Développons $f_M^*\alpha_{[n]} = \prod_i \big(\sum_j M_{ij}\alpha_j\big)$ par bilinéarité : c'est la somme, sur les applications $j$ de $\{1, \dots, n\}$ dans lui-même, des $\prod_i M_{i\,j(i)}\, \alpha_{j(1)} \smile \cdots \smile \alpha_{j(n)}$. Par le point (ii) du nœud Anneau du tore, les termes où $j$ n'est pas injective sont nuls, et, pour une permutation $\sigma$, le produit vaut $\varepsilon(\sigma)\,\alpha_{[n]}$. Donc $$\begin{aligned} f_M^*\alpha_{[n]} &= \Big(\sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \varepsilon(\sigma) \prod_i M_{i\,\sigma(i)}\Big)\,\alpha_{[n]} \\ &= \det M \cdot \alpha_{[n]}, \end{aligned}$$ la somme étant le déterminant de la transposée de $M$, égal à $\det M$ (Déterminant d'une matrice, (iii)), calculé dans $\mathbb Q$. En homologie, $(f_M)_*e = c\,e$ avec $c = \langle \alpha_{[n]}, (f_M)_*e \rangle = \langle f_M^*\alpha_{[n]}, e \rangle = \det M$.

Une équivalence d'homotopie induit un isomorphisme de $H^n(T^n; \mathbb Z) \cong \mathbb Z$ (Invariance par homotopie, (ii)), c'est-à-dire la multiplication par $\pm 1$.

(iii) Si $g \circ f$ est homotope à l'identité, $f^* \circ g^* = \mathrm{id}$ sur $H^*(T^n; \mathbb Z)$ (Invariance par homotopie, (i)). Alors $$\begin{aligned} \alpha_1 \smile \alpha_2 &= f^*g^*(\alpha_1 \smile \alpha_2) \\ &= f^*\big(g^*\alpha_1 \smile g^*\alpha_2\big) = 0, \end{aligned}$$ puisque $g^*\alpha_1$ et $g^*\alpha_2$ sont de degré $1$. Or $\alpha_1 \smile \alpha_2 = \alpha_{\{1, 2\}}$ est un élément de base de $H^2(T^n; \mathbb Z)$ (Anneau du tore, (i)) : contradiction.