Théorème 4Formule de Künneth

La formule de Künneth en homologie singulière

L'homologie à coefficients dans un anneau commutatif $R$ est l'homologie ${H_n(X; R)}$ du complexe $C(X; R)$ du nœud Eilenberg-Zilber ; pour $R = \mathbb Z$ , c'est $H_n(X)$ . Le produit croisé homologique est la composée $\begin{aligned} &H_i(X; R) \otimes_R H_j(Y; R) \\ &\xrightarrow{\times} H_{i+j}\big(C(X; R) \otimes_R C(Y; R)\big) \\ &\xrightarrow{\mathrm{EZ}_*} H_{i+j}(X \times Y; R) \end{aligned}$ du produit croisé algébrique (Produit de complexes, (ii)) et de l'isomorphisme d'Eilenberg-Zilber ; on note $x \times y$ l'image de $x \otimes y$ .

Pour $n \geqslant 1$ , le tore de dimension $n$ est $T^n = (S^1)^n$ , produit de $n$ copies du cercle ${S^1} = \mathbb R/\mathbb Z$ (Groupe fondamental du cercle), muni de la topologie produit ; $T^2$ est le tore du nœud Bouquet de deux cercles. L'application $((x_1, \dots, x_{n-1}), x_n) \mapsto (x_1, \dots, x_n)$ est un homéomorphisme de $T^{n-1} \times S^1$ sur $T^n$ , chacune des deux applications réciproques ayant des composantes continues (Topologie produit) : on identifie ces deux espaces.

Énoncé

(i) Coefficients entiers. Pour tous espaces $X$ et $Y$ et tout $n$ , la suite $\begin{aligned} 0 &\to \bigoplus_{i+j=n} H_i(X) \otimes H_j(Y) \\ &\xrightarrow{\times} H_n(X \times Y) \\ &\to \bigoplus_{i+j=n-1} T_{i,j}(X, Y) \to 0 \end{aligned}$ est exacte et naturelle, où $T_{i,j}(X, Y)$ est le noyau de $B_i(X) \otimes H_j(Y) \to Z_i(X) \otimes H_j(Y)$ . Ce noyau est nul si $H_j(Y)$ est plat, par exemple libre, ou si $H_i(X)$ est isomorphe à un ${\mathbb Z^k}$ . En particulier, si tous les $H_j(Y)$ sont libres, $H_n(X \times Y) \cong \bigoplus_{i+j=n} H_i(X) \otimes H_j(Y).$

(ii) Corps. Sur un corps $K$ , pour tous espaces $X$ et $Y$ , le produit croisé est un isomorphisme $\begin{aligned} &\bigoplus_{i+j=n} H_i(X; K) \otimes_K H_j(Y; K) \\ &\quad \cong H_n(X \times Y; K). \end{aligned}$

(iii) Tore. On a $H_0(S^1) \cong H_1(S^1) \cong \mathbb Z$ et $H_k(S^1) = 0$ pour $k \geqslant 2$ . Soit $g$ un générateur de $H_1(S^1)$ et $o$ la classe d'un point, qui engendre $H_0(S^1)$ . Pour $I \subset \{1, \dots, n\}$ , soit $e_I \in H_{|I|}(T^n)$ le produit croisé $c_1 \times \cdots \times c_n$ , effectué de gauche à droite, où $c_i = g$ si $i \in I$ et $c_i = o$ sinon. Les $e_I$ tels que $|I| = k$ forment une base de $H_k(T^n)$ , qui est libre de rang $\binom nk$ , et nul pour $k > n$ .

Démonstration

(i) Par le théorème d'Eilenberg-Zilber (Eilenberg-Zilber, (ii)), $H_n(X \times Y) \cong H_n(C(X) \otimes C(Y))$ , et l'on applique le nœud Künneth algébrique, (i), à $C = C(X)$ et $D = C(Y)$ . Les cycles et les bords de $C(X)$ sont des sous-groupes du groupe libre $C_i(X)$ , donc plats sans aucun choix (Modules plats, (iv)), et les $C_j(Y)$ sont libres, donc plats (même nœud, (ii)).

L'annulation de $T_{i,j}$ est le point (ii) du nœud Künneth algébrique, $\mathbb Z^k$ étant projectif (Groupes projectifs, (i)). La naturalité vient de celle de la suite algébrique et de celle de $\mathrm{EZ}$ .

(ii) Les espaces vectoriels $C_i(X; K)$ et leurs sous-espaces sont plats (Modules plats, (iv)) ; on applique le point (ii) du nœud Künneth algébrique à $C(X; K)$ et $C(Y; K)$ , puis le point (iii) du nœud Eilenberg-Zilber.

(iii) Le cercle. Le nœud Bouquet de deux cercles, (i), donne un homéomorphisme de $S^1$ sur un losange, que la translation de vecteur $(-\frac14, -\frac14)$ envoie sur $L = \{(u, v) : |u| + |v| = \frac14\}$ . L'application $y \mapsto y/\|y\|$ est un homéomorphisme de $L$ sur le cercle unité de $\mathbb R^2$ , de réciproque $y \mapsto y/(4(|y_1| + |y_2|))$ , toutes deux continues comme quotients de fonctions continues qui ne s'annulent pas. Le nœud Homologie des sphères donne l'homologie de $S^1$ ; comme $S^1$ est connexe par arcs, $H_0(S^1)$ est engendré par $o$ (Degré 0, point).

Récurrence. Pour $n = 1$ , c'est ce qui précède. Pour $n \geqslant 2$ , on applique (i) à $X = T^{n-1}$ et $Y = S^1$ , dont l'homologie est libre : $\begin{aligned} H_k(T^n) &\cong H_k(T^{n-1}) \otimes H_0(S^1) \\ &\quad \oplus H_{k-1}(T^{n-1}) \otimes H_1(S^1). \end{aligned}$ Comme $\mathbb Z \otimes A \cong A$ , les éléments $e_I \times o$ , pour $I \subset \{1, \dots, n - 1\}$ et $|I| = k$ , et $e_J \times g$ , pour $|J| = k - 1$ , forment une base, par l'hypothèse de récurrence. Ce sont les $e_I$ de $T^n$ , avec $n \notin I$ ou $n \in I$ . Le rang est $\binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1} = \binom nk$ , par la relation de Pascal (coefficients binomiaux).

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Remarque

Sur le corps $\mathbb Q$ , le point (ii) dit que les nombres de Betti $b_n = \dim H_n(-; \mathbb Q)$ d'un produit vérifient $b_n(X \times Y) = \sum_{i+j=n} b_i(X)\, b_j(Y)$ lorsqu'ils sont finis. C'est l'énoncé de Künneth (Über die Bettischen Zahlen einer Produktmannigfaltigkeit, Math. Ann. 90, 1923, p. 65-85), complété l'année suivante pour la torsion (Über die Torsionszahlen von Produktmannigfaltigkeiten, Math. Ann. 91, 1924, p. 125-134), dans le cadre des variétés combinatoires de l'époque.

Remarque

Le terme $T_{i,j}$ est le groupe ${\operatorname{Tor}}(H_i(X), H_j(Y))$ dès que les chaînes $C_i(X)$ et les bords $B_i(X)$ sont projectifs pour tout $i$ , ce qui rend les cycles $Z_i(X)$ projectifs : ce sont les hypothèses du point (iii) du nœud Künneth algébrique portant sur le premier complexe, celles qui portent sur le second ne servant qu'au scindage. Pour le complexe singulier, la démonstration de ces hypothèses emploie l'axiome du choix, comme au point (ii) du nœud Coefficients universels.

Remarque

Un cas se traite pourtant sans choix : si $H_j(Y) = \mathbb Z/2\mathbb Z$ , alors $B_i \otimes \mathbb Z/2\mathbb Z \cong B_i/2B_i$ (Produit tensoriel, (iv)), et $T_{i,j}$ est le noyau de $B_i/2B_i \to Z_i/2Z_i$ , c'est-à-dire $(B_i \cap 2Z_i)/2B_i$ . Dans $Z_i(X)$ , sous-groupe du groupe abélien libre $C_i(X)$ , l'égalité $2z = 0$ entraîne $z = 0$ , coefficient par coefficient ; l'application $2z \mapsto [z]$ est donc bien définie, et elle identifie ce noyau au sous-groupe $H_i(X)[2]$ des classes $c$ telles que $2c = 0$ .

Le chapitre Homologie cellulaire, qui ne précède pas celui-ci, établit dans une branche parallèle que $H_0(\mathbb RP^2) \cong \mathbb Z$ , $H_1(\mathbb RP^2) \cong \mathbb Z/2\mathbb Z$ et $H_k(\mathbb RP^2) = 0$ pour $k \geqslant 2$ (Homologie de ℝPⁿ) ; ces groupes sont admis ici. On obtient ainsi $H_3(\mathbb RP^2 \times \mathbb RP^2) \cong T_{1,1} \cong \mathbb Z/2\mathbb Z$ , les autres termes étant nuls, puisque $H_0$ est libre et que $H_k = 0$ pour $k \geqslant 2$ : une classe de dimension $3$ dans un produit de surfaces sans homologie en degré $2$ , qui vient tout entière de l'élément d'ordre $2$ de $H_1(\mathbb RP^2)$ .

Remarque

Pour le tore, (iii) donne $H_*(T^2)$ de rangs $1$ , $2$ , $1$ et $H_*(T^3)$ de rangs $1$ , $3$ , $3$ , $1$ , ce que le produit des complexes « cellulaires » de la seconde remarque du nœud Produit de complexes laissait prévoir. Le générateur $e_{\{1, 2\}} = g \times g$ de $H_2(T^2)$ est représenté par l'image du carré découpé en deux triangles de la figure du nœud Eilenberg-Zilber, quand on prend pour $\mathrm{EZ}$ le battage, ce qui suppose admis que celui-ci convient (première remarque du nœud Eilenberg-Zilber).

Repose sur

Le théorème d'Eilenberg-Zilber La formule de Künneth algébrique

Sert à

Le produit croisé en cohomologie