Cône dans un convexe et contractions

(i) Continuité. Sur l'ouvert $\{t_0 < 1\}$ de $\Delta_{n+1}$, le point $s(t)$ a des coordonnées positives de somme $1$, et dépend continûment de $t$ : la formule est continue. Au point $e_0$, chaque coordonnée de $$(b \cdot \sigma)(t) - b = (1 - t_0)\big(\sigma(s(t)) - b\big)$$ est majorée en valeur absolue par $1 - t_0 = \sum_{i \geqslant 1} t_i \leqslant (n + 1)\, d_\infty(t, e_0)$, puisque $Q \subset [0, 1]^m$. La distance $d_\infty$ définissant la topologie de $\Delta_{n+1}$ (L'espace ℝⁿ, (i)), $b \cdot \sigma$ est continue en $e_0$. Ses valeurs sont dans $Q$, combinaisons convexes de $b$ et d'un point de $Q$.

Faces. La face $\delta_0$ impose $t_0 = 0$, et $(b \cdot \sigma) \circ \delta_0 = \sigma$. Pour $i \geqslant 1$, $\delta_i$ insère un $0$ en position $i$ : pour $u \in \Delta_n$, le point $\delta_i(u)$ a pour première coordonnée $u_0$, et ses coordonnées suivantes sont celles de $\delta_{i-1}(u_1, \dots, u_n)$. D'où $(b \cdot \sigma)(\delta_i(u)) = (b \cdot (\sigma \circ \delta_{i-1}))(u)$, y compris en $u = e_0$, où les deux valent $b$.

Bord. Pour $n \geqslant 1$, $$\begin{aligned} \partial(b \cdot \sigma) &= \sigma + \sum_{i=1}^{n+1} (-1)^i\, b \cdot (\sigma \circ \delta_{i-1}) \\ &= \sigma - b \cdot \partial\sigma. \end{aligned}$$ Pour un point $x$, $b \cdot x$ est le chemin $t \mapsto t_0 b + t_1 x$, de bord $x - b$. Ainsi $\partial h + h\partial = \mathrm{id}$ en degré $n \geqslant 1$, et $\partial h(x) = x - \varepsilon(x)\, b$ en degré $0$, où $\partial = 0$. Enfin $\varepsilon(b) = 1$.

(ii) Pour $c \in C_i$ et $d \in D_j$, posons $H_1 = h \otimes \mathrm{id}$, sans signe. Par la règle des signes du bord de $C \otimes D$ (Produit de complexes), on a $$\begin{aligned} &\partial H_1(c \otimes d) + H_1\partial(c \otimes d) \\ &= \partial hc \otimes d + (-1)^{i+1} hc \otimes \partial d \\ &\quad + h\partial c \otimes d + (-1)^i hc \otimes \partial d \\ &= (c - \eta\varepsilon c) \otimes d. \end{aligned}$$

Posons $H_2 = \eta\varepsilon \otimes h'$, nul hors de $C_0 \otimes D$. Comme $\eta\varepsilon(c)$ est de degré $0$, de bord nul, $\partial H_2(c \otimes d) = \eta\varepsilon(c) \otimes \partial h'd$. Dans $H_2\partial(c \otimes d)$, le terme $H_2(\partial c \otimes d)$ est nul, puisque $\varepsilon\partial = 0$ si $i = 1$ et que $\partial c$ n'est pas de degré $0$ sinon, et il reste $\eta\varepsilon(c) \otimes h'\partial d$. Donc $$\begin{aligned} &\partial H_2 + H_2\partial \\ &= \eta\varepsilon \otimes (\partial h' + h'\partial) \\ &= \eta\varepsilon \otimes \mathrm{id} - \eta\varepsilon \otimes \eta'\varepsilon'. \end{aligned}$$ En additionnant, $\partial H + H\partial = \mathrm{id} - \eta\varepsilon \otimes \eta'\varepsilon'$, et $\eta\varepsilon \otimes \eta'\varepsilon'$ est $x \mapsto (\varepsilon \otimes \varepsilon')(x)\, v \otimes v'$ en degré $0$. Enfin $(\varepsilon \otimes \varepsilon')(v \otimes v') = 1$.

(iii) Si $\partial z = 0$ et $n \geqslant 1$, $z = \partial hz + h\partial z = \partial hz$. En degré $0$, $c = \partial hc + \varepsilon(c)v = \partial hc$.

(iv) Les simplexes $\Delta_p \subset \mathbb R^{p+1}$ et $\Delta_q \subset \mathbb R^{q+1}$ sont convexes et contenus dans des cubes $[0, 1]^{p+1}$ et $[0, 1]^{q+1}$ ; leur produit l'est donc dans $\mathbb R^{p+1} \times \mathbb R^{q+1} = \mathbb R^{p+q+2}$, coordonnée par coordonnée. Les ensembles $(U \cap \Delta_p) \times (V \cap \Delta_q) = (U \times V) \cap (\Delta_p \times \Delta_q)$, pour $U$ et $V$ ouverts, forment une base de chacune des deux topologies (Topologie produit) : elles coïncident.

On applique (i) à $\Delta_p \times \Delta_q$ et au point $(e_0, e_0)$, puis (i) à $\Delta_p$ et à $\Delta_q$ et (ii) au produit tensoriel.