La méthode des modèles acycliques

(i) Un simplexe singulier $\sigma$ de $X \times Y$ est déterminé par ses composantes $\sigma_1 = p_1 \circ \sigma$ et $\sigma_2 = p_2 \circ \sigma$, continues, et tout couple d'applications continues $\Delta_n \to X$, $\Delta_n \to Y$ en définit un (Topologie produit). Comme $(f \times g) \circ d_n = (f, g)$, les éléments $\mathsf F(f, g)(d_n)$ sont exactement les simplexes singuliers de $X \times Y$, chacun une fois : ils forment la base de $C_n(X \times Y)$.

Pour $\mathsf G$, $C_p(X) \otimes C_q(Y)$ est libre de base les $\sigma \otimes \tau$ (Produit tensoriel, (iii)), et $\sigma \otimes \tau = (\sigma_\# \otimes \tau_\#)(\iota_p \otimes \iota_q)$, puisque $\sigma_\#\iota_p = \sigma$. Les contractions des modèles sont celles du nœud Cône, contractions, (iv).

(ii) Ce qu'il faut construire. Une transformation naturelle $\Phi_n$, définie sur des bases, est déterminée par les éléments $\varphi_u = \Phi_n(u)$ de $T'_n(M_u)$, $u \in U_n$, puisque nécessairement $$\Phi_n\big(T(f, g)u\big) = T'(f, g)\,\varphi_u.$$ Réciproquement, pour toute famille $(\varphi_u)$, cette formule définit sur chaque $T_n(X, Y)$ une application linéaire, et elle est naturelle : pour $(f', g')$, l'élément $T(f', g')T(f, g)u = T(f'f, g'g)u$ a pour image $T'(f'f, g'g)\varphi_u = T'(f', g')T'(f, g)\varphi_u$.

Le carré se lit sur l'élément $u$ : on le transporte par $T(f, g)$ puis on applique $\Phi_n$, ou l'on applique d'abord $\Phi_n$ dans le modèle, et l'on obtient le même élément. Tout se ramène donc à choisir les $\varphi_u$ dans les modèles, ce que la contraction fait sans aucun choix.

Récurrence. Supposons construits $\Phi_0, \dots, \Phi_{n-1}$, naturels, avec $\partial\Phi_k = \Phi_{k-1}\partial$ pour $1 \leqslant k \leqslant n - 1$. Pour $u \in U_n$, de modèle $M$, soit $x = \Phi_{n-1}(\partial u) \in T'_{n-1}(M)$. Si $n \geqslant 2$, $\partial x = \Phi_{n-2}(\partial\partial u) = 0$ ; si $n = 1$, $\varepsilon'(x) = \varepsilon(\partial u) = 0$.

Par le point (iii) du nœud Cône, contractions, $x = \partial h(x)$, où $h$ est la contraction donnée de $T'(M)$. On pose $\varphi_u = h(x)$, qui définit $\Phi_n$. Sur un élément de base, $$\begin{aligned} \partial\Phi_n\big(T(f, g)u\big) &= T'(f, g)\,\partial h(x) \\ &= T'(f, g)\,\Phi_{n-1}(\partial u) \\ &= \Phi_{n-1}\big(\partial\, T(f, g)u\big), \end{aligned}$$ par la naturalité de $\Phi_{n-1}$, et $\Phi_n$ commute au bord. La récurrence porte sur les familles finies $(\varphi_u)_{u \in U_n}$, chacune définie par une formule à partir des précédentes : c'est une définition par récurrence (Définitions par récurrence), sous la forme où l'étape dépend de $n$, la suite prenant ses valeurs dans la réunion, sur $n$, des produits $\prod_{u \in U_n} T'_n(M_u)$.

(iii) On construit $D_n$ de la même façon, par les éléments $D_n(u)$. Pour $u \in U_0$, l'élément $y = \Phi'_0(u) - \Phi_0(u)$ vérifie $\varepsilon'(y) = 0$, et l'on pose $D_0(u) = h(y)$, de sorte que $\partial D_0 = \Phi'_0 - \Phi_0$.

Pour $n \geqslant 1$ et $u \in U_n$, soit $y = \Phi'_n(u) - \Phi_n(u) - D_{n-1}(\partial u)$. Par hypothèse de récurrence, $\partial D_{n-1} = \Phi'_{n-1} - \Phi_{n-1} - D_{n-2}\partial$, avec $D_{-1} = 0$, d'où $$\begin{aligned} \partial y &= (\Phi'_{n-1} - \Phi_{n-1})(\partial u) - \partial D_{n-1}(\partial u) \\ &= D_{n-2}(\partial\partial u) = 0. \end{aligned}$$ On pose $D_n(u) = h(y)$ ; alors $\partial D_n(u) = y$, c'est-à-dire $(\partial D_n + D_{n-1}\partial)(u) = \Phi'_n(u) - \Phi_n(u)$, et cette identité se transporte à tous les éléments de base par naturalité.