Théorème 2Produit cup

Le théorème de Borsuk-Ulam

Énoncé

(i) Pour $n \geqslant 1$ , il n'existe pas d'application impaire continue de ${S^n}$ dans $S^{n-1}$ .

(ii) Borsuk-Ulam. Pour $n \geqslant 1$ et toute application continue $f : S^n \to {\mathbb R^n}$ , il existe $x \in S^n$ tel que $f(x) = f(-x)$ .

(iii) Pour $n \geqslant 1$ , aucune partie de $\mathbb R^n$ n'est homéomorphe à $S^n$ .

Démonstration

(i) Pour $n = 1$ , une application continue $g$ de $S^1$ , connexe, dans $S^0 = \{-1, 1\}$ , discret, est constante, ce qui contredit $g(-x) = -g(x)$ .

Soit $n \geqslant 2$ , $m = n - 1 \geqslant 1$ , et $g : S^n \to S^m$ continue et impaire. Notons $\alpha_n$ et $\alpha_m$ les classes de degré $1$ de $\mathbb RP^n$ et $\mathbb RP^m$ (Anneau de ℝPⁿ). L'application $\bar g : \mathbb RP^n \to \mathbb RP^m$ vérifie $\bar g^* \circ \kappa_m = \kappa_n \circ \bar g^*$ (Revêtement double, (iii)), et $\bar g^*[1] = [1]$ . Donc $\bar g^*(\alpha_m) = \bar g^*\kappa_m[1] = \kappa_n\,\bar g^*[1] = \alpha_n.$

Comme $\bar g^*$ est un morphisme d'anneaux (Anneau de cohomologie, (i) ; seul le point (ii) de ce nœud est admis, et il ne sert pas ici), $\alpha_n^n = \bar g^*(\alpha_m)^n = \bar g^*(\alpha_m^n).$ Or $\alpha_m^n$ appartient à $H^n(\mathbb RP^m; \mathbb F_2)$ , nul puisque $n > m$ (ℝPⁿ au-delà de n). Donc $\alpha_n^n = 0$ , ce qui contredit le nœud Anneau de ℝPⁿ, (ii).

(ii) Supposons $f(x) \neq f(-x)$ pour tout $x$ . L'application $g(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{\|f(x) - f(-x)\|}$ est continue de $S^n$ dans $S^{n-1}$ , et impaire, ce que (i) interdit.

(iii) Un homéomorphisme de $S^n$ sur une partie de $\mathbb R^n$ serait une application continue et injective $f : S^n \to \mathbb R^n$ . Par (ii), $f(x) = f(-x)$ pour un $x$ , alors que $x \neq -x$ .

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Remarque

Pour $f(x) = (x_1 + x_2^2 + x_1x_2x_3,\ x_2 - x_3 + x_1^2)$ sur $S^2$ , on a $f(x) - f(-x) = 2\big(x_1(1 + x_2x_3),\ x_2 - x_3\big).$ Sur la sphère, $|x_2x_3| \leqslant \frac12(x_2^2 + x_3^2) \leqslant \frac12$ , donc $x_1 = 0$ et $x_2 = x_3 = \pm\frac1{\sqrt2}$ . La seule paire de points opposés de même image est $\pm\big(0, \frac1{\sqrt2}, \frac1{\sqrt2}\big)$ , de valeur commune $\big(\frac12, 0\big)$ , ce que confirme un calcul formel. Le théorème garantit l'existence d'une telle paire ; il ne dit rien de leur nombre.

Remarque

L'interprétation classique : si la température et la pression varient continûment à la surface de la Terre, assimilée à $S^2$ , il existe à tout instant deux points antipodaux où elles sont toutes deux égales.

Remarque

La démonstration n'aurait pas abouti avec les seuls groupes de cohomologie : en degré $n$ , $\bar g^*$ va du groupe nul $H^n(\mathbb RP^{n-1})$ dans $H^n(\mathbb RP^n)$ , et sa nullité ne contredit rien. C'est le produit qui transporte l'information du degré $1$ , où $\bar g^*$ est bijectif, jusqu'au degré $n$ .

Remarque

Le point (iii) complète l'invariance de la dimension (Brouwer, dimension) : une sphère de dimension $n$ ne se plonge même pas dans $\mathbb R^n$ . On en déduit aussi le théorème du sandwich au jambon, selon lequel $n$ parties mesurables bornées de $\mathbb R^n$ peuvent être coupées chacune en deux moitiés de même mesure par un seul hyperplan ; ce théorème est admis ici.

Remarque

L'énoncé apparaît pour la première fois chez Lusternik et Schnirelmann (1930), sous une forme équivalente : si $S^n$ est recouverte par $n + 1$ fermés, l'un d'eux contient deux points opposés ; Borsuk en a publié la première démonstration (Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre, Fund. Math. 20, 1933, p. 177-190), la question étant attribuée à Ulam. La démonstration par l'anneau de cohomologie modulo $2$ de $\mathbb RP^n$ est celle des manuels modernes, où la structure d'anneau est en général établie par l'homologie cellulaire ; ici, elle vient de la suite exacte du revêtement double.

Repose sur

L'anneau de cohomologie de ℝPⁿ modulo 2

Sert à

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