Orientation des espaces vectoriels et des variétés

(i) Si $P$ et $Q$ sont les matrices de passage de $\mathcal B$ à $\mathcal B'$ et de $\mathcal B'$ à $\mathcal B''$, celle de $\mathcal B$ à $\mathcal B''$ est $PQ$, et $\det(PQ) = \det P \det Q$ (Déterminant d'une matrice, (ii)) ; la matrice de passage inverse est $P^{-1}$, de déterminant $1/\det P$.

Une base $\mathcal B$ et la base obtenue en changeant $e_1$ en $-e_1$ n'ont pas même orientation, la matrice de passage étant de déterminant $-1$, et toute base a même orientation que l'une ou l'autre, selon le signe du déterminant de passage. Enfin, la matrice de passage de $\mathcal B$ à $u(\mathcal B)$ est la matrice de $u$.

(ii) L'atlas $\{\mathrm{id}\}$ est orienté. $\rho$ est un difféomorphisme linéaire de déterminant $-1$, et $d(\psi \circ (\rho \circ \varphi)^{-1}) = d(\psi \circ \varphi^{-1}) \circ \rho$.

(iii) Le changement de carte $\sigma_- \circ \sigma_+^{-1}(z) = z/\|z\|_2^2$ (Exemples de variétés, (ii)) a pour différentielle $$h \mapsto \|z\|_2^{-2}\big(h - 2\langle u, h \rangle u\big),$$ avec $u = z/\|z\|_2$ et $\langle u, h \rangle = \sum_i u_ih_i$.

L'application $h \mapsto h - 2\langle u, h \rangle u$ envoie $u$ sur $-u$ (car $\langle u, u \rangle = 1$) et fixe l'hyperplan $u^\perp = \{h : \langle u, h \rangle = 0\}$ ; dans une base formée de $u$ et d'une base de $u^\perp$, sa matrice est diagonale de coefficients $-1, 1, \dots, 1$ : le déterminant du changement de carte vaut $-\|z\|_2^{-2n} < 0$. Composer $\sigma_-$ avec $\rho$ change ce signe, par (ii).