Coordonnées polaires dans le plan

(i) Régularité. Les dérivées partielles $\partial_r P = (\cos\theta, \sin\theta)$ et $\partial_\theta P = (-r\sin\theta, r\cos\theta)$ existent et sont continues, puisque $\cos' = -\sin$ et $\sin' = \cos$ (Exponentielle, (iv)). Donc $P$ est de classe $C^1$ (Classe Cᵏ, (i)), et son jacobien vaut $r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r > 0$.

Bijection. Soit $z \in V$ ; il n'est pas nul, et s'écrit $z = |z|\exp(i\theta_0)$, avec $\theta_0$ unique modulo $2\pi$ (Le nombre π, (iii)). Par la propriété d'Archimède, il existe un unique entier $k$ tel que $\theta = \theta_0 - 2k\pi$ appartienne à $]{-\pi}, \pi]$, et $\exp(i\theta) = \exp(i\theta_0)$ (Le nombre π, (ii)).

Si $\theta$ valait $\pi$, $z = -|z|$ serait un réel strictement négatif, ce qui est exclu : $\theta \in \,]{-\pi}, \pi[$, et $z = P(|z|, \theta)$. Inversement, $P(r, \theta)$ n'est jamais dans $D$ : sinon $\exp(i\theta)$, de module $1$, serait un réel négatif, égal à $-1 = \exp(i\pi)$, et $\theta - \pi$ serait un multiple de $2\pi$, ce qui est impossible pour $\theta \in \,]{-\pi}, \pi[$.

Enfin $r = |P(r, \theta)|$, et $\theta$ est déterminé modulo $2\pi$, donc de façon unique dans $]{-\pi}, \pi[$ : $P$ est une bijection de $U$ sur $V$.

Réciproque. $D$ est fermé, intersection des fermés $\{y = 0\}$ et $\{x \leqslant 0\}$, donc $V$ est ouvert. En tout point $a \in U$, $dP(a)$ est inversible, de déterminant non nul ; le théorème d'inversion locale fournit un ouvert $O_a$ contenant $a$ et un ouvert $W_a$ contenant $P(a)$ tels que $P$ induise un $C^1$-difféomorphisme de $O_a$ sur $W_a$.

Pour $w \in W_a$, l'antécédent de $w$ dans $O_a$ est son unique antécédent dans $U$ : la réciproque de $P$ coïncide sur $W_a$ avec celle de la restriction de $P$ à $O_a$. Elle est donc de classe $C^1$ au voisinage de chaque point de $V$.

(ii) $D$ est contenu dans la droite $\{y = 0\}$, négligeable (Lebesgue sur ℝⁿ, (iv)), si bien que l'intégrale de $f$ sur $D$ est nulle et que $\int_{\mathbb R^2} f = \int_V f$. Le nœud Changement de variables, (ii), donne $\int_V f = \int_U (f \circ P)\,J_P\,d\lambda$.

Le théorème de Tonelli (Tonelli, Fubini), appliqué sur $\mathbb R \times \mathbb R$ à la fonction égale à $f(P(r, \theta))\,r$ sur $U$ et nulle ailleurs, écrit cette intégrale comme une intégrale double.

(iii) Pour $f$ l'indicatrice du disque, $f(P(r, \theta)) = \mathbf 1_{]0, R[}(r)$, et $$\begin{aligned} \lambda(\{|z| < R\}) &= \int_{-\pi}^{\pi}\!\int_0^R r\,dr\,d\theta \\ &= 2\pi \cdot \frac{R^2}2, \end{aligned}$$ l'intégrale de $r$ sur $]0, R[$ étant celle de Riemann (Riemann et Lebesgue), calculée par le théorème fondamental.