L'intégrale de Gauss par les coordonnées polaires

(i) Pour $r > 0$ et tout $\theta$, $e^{-(r\cos\theta)^2 - (r\sin\theta)^2} = e^{-r^2}$, puisque $\cos^2 + \sin^2 = 1$ (Cosinus et sinus sur ℝ, (iii)). Les coordonnées polaires (Coordonnées polaires, (ii)) donnent $$\int_{\mathbb R^2} e^{-(x^2 + y^2)}\,d\lambda = \int_{-\pi}^{\pi}\!\int_0^{+\infty} re^{-r^2}\,dr\,d\theta.$$

La fonction $F(r) = -\frac12 e^{-r^2}$ a pour dérivée $re^{-r^2}$, par la règle de la chaîne et $\exp' = \exp$. Deux primitives d'une fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante (Égalité des accroissements finis), et le théorème fondamental donne, pour l'intégrale de Riemann sur $[0, T]$, $$\begin{aligned} \int_0^T re^{-r^2}\,dr &= F(T) - F(0) \\ &= \frac12\big(1 - e^{-T^2}\big). \end{aligned}$$

La convergence monotone (Convergence monotone), appliquée aux fonctions $re^{-r^2}\mathbf 1_{]0, k]}(r)$, et le nœud Riemann et Lebesgue montrent que l'intégrale sur $]0, +\infty[$ est la limite de $\frac12(1 - e^{-k^2})$, c'est-à-dire $\frac12$, puisque $e^{k^2} \geqslant 1 + k^2$. L'intégrale en $\theta$ vaut alors $2\pi \cdot \frac12 = \pi$.

(ii) Soit $I = \int_{\mathbb R} e^{-x^2}\,dx$. Comme $e^{-(x^2 + y^2)} = e^{-x^2}e^{-y^2}$ (Exponentielle, (iii)), le théorème de Tonelli (Tonelli, Fubini) sur $\mathbb R^2 = \mathbb R \times \mathbb R$ donne $$\pi = \int_{\mathbb R}\Big(\int_{\mathbb R} e^{-x^2}\,dx\Big)e^{-y^2}\,dy = I^2.$$ Comme $I \geqslant 0$, $I = \sqrt\pi$.

Pour la seconde intégrale, le nœud Changement de variables, (ii), appliqué au difféomorphisme $x \mapsto \sqrt2\,x$ de $\mathbb R$, de jacobien $\sqrt2$, donne $\int_{\mathbb R} e^{-u^2/2}\,du = \sqrt2 \int_{\mathbb R} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{2\pi}$.