La loi normale

Préliminaires. Pour $T > 0$, l'intégrale $\int_0^T \frac{ds}{1 + s^2}$ est, par définition, l'arc tangente $\arctan T$, qui tend vers \frac\pi2 quand $T$ tend vers $+\infty$ (Arc tangente, π, (iii)) ; c'est la définition même du nombre $\pi$.

Pour les changements de variable affines ou $y = xs$ sur un segment, on dérive les deux membres par rapport à la borne supérieure (Théorème fondamental) ; les intégrales sur $[0, +\infty[$ de fonctions continues positives sont des limites d'intégrales sur des segments, par convergence monotone et Riemann et Lebesgue.

(i) Soit $J = \int_0^{+\infty} e^{-x^2}\,dx$. Par Tonelli (Tonelli, Fubini), $$J^2 = \int_0^{+\infty}\!\!\int_0^{+\infty} e^{-x^2 - y^2}\,dy\,dx.$$ Pour $x > 0$ fixé, le changement de variable $y = xs$ donne $\int_0^{+\infty} e^{-x^2(1 + s^2)}\,x\,ds$. En intervertissant à nouveau, et puisque $x e^{-x^2(1+s^2)}$ a pour primitive $-\frac{e^{-x^2(1+s^2)}}{2(1 + s^2)}$, $$J^2 = \int_0^{+\infty} \frac{ds}{2(1 + s^2)} = \frac\pi4.$$

Donc $J = \frac{\sqrt\pi}2$, puis, par parité et le changement de variable $u = \sqrt 2\,x$, $$\int_{\mathbb R} e^{-u^2/2}\,du = 2\sqrt 2\,J = \sqrt{2\pi}.$$

(ii) $|x|^k e^{-x^2/4}$ est borné, d'où l'intégrabilité de $|x|^k e^{-x^2/2}$. Pour $\mathcal N(0, 1)$, l'espérance est nulle par imparité, et l'intégration par parties sur $[-T, T]$, avec $(e^{-x^2/2})' = -xe^{-x^2/2}$, donne $\int x^2 e^{-x^2/2} = \int e^{-x^2/2}$, d'où $E[X^2] = 1$. Le changement de variable affine donne le cas général.

(iii) Soient $f$ et $g$ les densités de $X$ et de $Y$. La mesure $E \mapsto \int_E f(x)g(y)\,d(\lambda \otimes \lambda)$ vaut, par Tonelli, $P_X(A)\,P_Y(B)$ sur un pavé $A \times B$ ; par l'unicité de la mesure produit (Mesure produit) et par Variables aléatoires, (iii), c'est la loi du couple. Par Tonelli et l'invariance de $\lambda$ par translation (Mesure de Lebesgue), $$\begin{aligned} &P(X + Y \leqslant t) \\ &= \int\!\int \mathbf 1_{x \leqslant t - y}f(x)g(y)\,dx\,dy \\ &= \int_{-\infty}^t h(u)\,du, \end{aligned}$$ avec $h(u) = \int f(u - y)g(y)\,dy$. En complétant le carré, $$\begin{aligned} &\frac{(u - y)^2}{\alpha} + \frac{y^2}{\beta} = \frac{u^2}{\alpha + \beta} \\ &\quad + \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}\Big(y - \frac{\beta u}{\alpha + \beta}\Big)^2, \end{aligned}$$ et (i), après translation et changement d'échelle, donne $$h(u) = \frac{1}{\sqrt{2\pi(\alpha + \beta)}}e^{-u^2/(2(\alpha + \beta))}.$$