Théorème central limite (méthode de Lindeberg)

(i) Taylor. Pour $f$ de classe $C^3$ et $y, h$ réels, $$\begin{aligned} f(y + h) = {}&f(y) + hf'(y) \\ &+ \frac{h^2}2 f''(y) + R, \end{aligned}$$ avec $|R| \leqslant \|f'''\|_\infty |h|^3/6$.

En effet, si $h = 0$, alors $R = 0$. Si $h \neq 0$, la fonction $$\begin{aligned} \varphi(s) = {}&f(y + h) - f(y + s) \\ &- (h - s)f'(y + s) \\ &- \frac{(h - s)^2}2 f''(y + s) \\ &- (h - s)^3K, \end{aligned}$$ où $K$ est choisi pour que $\varphi(0) = 0$, ce qui est possible puisque $h^3 \neq 0$, s'annule aussi en $h$, et $\varphi'(s) = (h - s)^2\big(3K - \frac12 f'''(y + s)\big)$. Le théorème de Rolle fournit $\xi$ strictement entre $0$ et $h$ où $\varphi'(\xi) = 0$ ; comme $h - \xi \neq 0$, $K = f'''(y + \xi)/6$, et $\varphi(0) = 0$ s'écrit $R = h^3K$.

Remplacement. Sur l'espace produit de l'espace de départ et de $({\mathbb R^n}, \mathcal N(0, 1)^{\otimes n})$ (Mesure produit), on dispose de variables $Z_1, \dots, Z_n$ de loi $\mathcal N(0, 1)$, indépendantes entre elles et des $X_i$. Par Loi normale, (ii) et (iii), $(Z_1 + \cdots + Z_n)/\sqrt n$ suit la loi $\mathcal N(0, 1)$.

Posons, pour $0 \leqslant k \leqslant n$, $$\begin{aligned} T_k = \frac{1}{\sqrt n}\big(&X_1 + \cdots + X_k \\ &+ Z_{k+1} + \cdots + Z_n\big), \end{aligned}$$ de sorte que $T_n = S_n/\sqrt n$ et que $T_0$ suit la loi de $N$.

Avec $W_k = T_k - X_k/\sqrt n = T_{k-1} - Z_k/\sqrt n$, indépendante de $X_k$ et de $Z_k$ (Indépendance, (ii)), la formule de Taylor donne $$\begin{aligned} &E[f(T_k)] - E[f(T_{k-1})] \\ &= E\Big[f'(W_k)\frac{X_k - Z_k}{\sqrt n}\Big] \\ &\quad + E\Big[\frac{f''(W_k)}{2}\frac{X_k^2 - Z_k^2}{n}\Big] \\ &\quad + E[R_k - R'_k]. \end{aligned}$$

Les deux premiers termes sont nuls, par indépendance, puisque $X_k$ et $Z_k$ ont même espérance et même moment d'ordre $2$ (Espérance, variance, (iv)). Le reste est majoré par $$\frac{\|f'''\|_\infty(E|X_1|^3 + E|N|^3)}{6n^{3/2}}.$$ On somme sur $k$.

(ii) Soit $h(u) = 1 - 35u^4 + 84u^5 - 70u^6 + 20u^7$ sur $[0, 1]$, prolongée par $1$ sur $]{-\infty}, 0]$ et par $0$ sur $[1, +\infty[$ : elle est de classe $C^3$, ses trois premières dérivées s'annulant en $0$ et en $1$. Pour $\varepsilon > 0$, $f_\varepsilon(y) = h\big((y - x)/\varepsilon\big)$ vérifie $\mathbf 1_{y \leqslant x} \leqslant f_\varepsilon(y) \leqslant \mathbf 1_{y \leqslant x + \varepsilon}$.

Par (i), $$\begin{aligned} &\limsup P(S_n/\sqrt n \leqslant x) \\ &\quad \leqslant E[f_\varepsilon(N)] \leqslant P(N \leqslant x + \varepsilon), \end{aligned}$$ et de même $\liminf P(S_n/\sqrt n \leqslant x) \geqslant P(N \leqslant x - \varepsilon)$. La fonction de répartition de $N$ est continue, puisque $N$ a une densité : on fait tendre $\varepsilon$ vers $0$.