Théorème central limite sous un moment d'ordre 2

(i) Posons $r_0(y) = e^{iy}$, $r_1(y) = e^{iy} - 1$, $r_2(y) = e^{iy} - 1 - iy$ et $$r_3(y) = e^{iy} - 1 - iy + \frac{y^2}2.$$

Chaque $r_{k+1}$ s'annule en $0$ et a pour dérivée $i\,r_k$, puisque $\frac{d}{dy}e^{iy} = ie^{iy}$ (Exponentielle, (iv)). Le théorème fondamental (Théorème fondamental) et le fait qu'une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante (Signe de la dérivée, (ii)), appliqués aux parties réelle et imaginaire, donnent $$r_{k+1}(y) = i\int_0^y r_k(s)\,ds.$$

Par Transformée de Fourier, (i), si $|r_k(s)| \leqslant c\,|s|^p$ entre $0$ et $y$, alors $|r_{k+1}(y)| \leqslant \frac{c\,|y|^{p+1}}{p+1}$. Partant de $|r_0| = 1$ (Exponentielle, (iii)), on obtient successivement $|r_1(y)| \leqslant |y|$, $|r_2(y)| \leqslant \frac{y^2}2$ et $|r_3(y)| \leqslant \frac{|y|^3}6$.

D'autre part, $|r_2(s)| \leqslant |r_1(s)| + |s| \leqslant 2|s|$, d'où $|r_3(y)| \leqslant y^2$.

(ii) La variable $X$ est intégrable (Espérance, variance, (ii)). Par linéarité de l'espérance, appliquée aux parties réelle et imaginaire, $$\begin{aligned} &\varphi_X(t) - 1 - itE[X] + \frac{t^2}2E[X^2] \\ &= E[r_3(tX)]. \end{aligned}$$

La preuve de Transformée de Fourier, (i), vaut pour toute probabilité, et donne $|E[r_3(tX)]| \leqslant E[|r_3(tX)|]$. Par (i), $|r_3(tX)| \leqslant t^2\min\big(\frac{|t|\,|X|^3}6, X^2\big)$, d'où l'inégalité annoncée.

La fonction $\eta$ est croissante en $|t|$, puisque $\min\big(\frac{|t|\,|X|^3}6, X^2\big)$ l'est en chaque point. Les variables $\min\big(\frac{|X|^3}{6m}, X^2\big)$ sont dominées par $X^2$, intégrable, et tendent vers $0$ en tout point quand $m \to \infty$ ; par convergence dominée (Convergence dominée, (i)), $\eta(\frac1m) \to 0$.

Pour $\varepsilon > 0$, soit $m \geqslant 1$ tel que $\eta(\frac1m) \leqslant \varepsilon$ ; pour $|t| \leqslant \frac1m$, on a $0 \leqslant \eta(t) \leqslant \eta(\frac1m) \leqslant \varepsilon$. Donc $\eta(t) \to 0$ quand $t \to 0$, sans passer par les suites quelconques, dont l'usage demanderait le choix dénombrable.

(iii) Produit. Notons $\varphi = \varphi_{X_1}$, qui est aussi la fonction caractéristique de chaque $X_k$, de même loi. La variable $S_{n-1}$ est mesurable pour la tribu engendrée par $X_1, \dots, X_{n-1}$, indépendante de $\sigma(X_n)$ par regroupement (Indépendance, (ii)). Par Fonctions caractéristiques, (ii), et récurrence, $\varphi_{S_n} = \varphi^n$, d'où $$\varphi_{S_n/\sqrt n}(t) = \varphi\Big(\frac t{\sqrt n}\Big)^n.$$

Comparaison. Fixons $t$ et $n \geqslant 1$, et posons $a = \varphi(t/\sqrt n)$ et $b = e^{-t^2/(2n)}$. Comme $|a| \leqslant 1$ et $|b| \leqslant 1$, l'identité $a^n - b^n = (a - b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}$ donne $|a^n - b^n| \leqslant n\,|a - b|$ ; et $b^n = e^{-t^2/2}$ (Exponentielle, (ii)).

Par (ii), avec $E[X_1] = 0$ et $E[X_1^2] = 1$, $$\Big|a - \Big(1 - \frac{t^2}{2n}\Big)\Big| \leqslant \frac{t^2}n\,\eta\Big(\frac t{\sqrt n}\Big).$$

Pour $x \geqslant 0$, on a $0 \leqslant e^{-x} - 1 + x \leqslant \frac{x^2}2$. En effet, $e^{-x} - 1 + x = \int_0^x (1 - e^{-s})\,ds$, et $0 \leqslant 1 - e^{-s} = \int_0^s e^{-v}\,dv \leqslant s$ pour $s \geqslant 0$, puisque $0 < e^{-v} \leqslant 1$ pour $v \geqslant 0$ (Exponentielle, (iv)). Avec $x = \frac{t^2}{2n}$, il vient $\big|b - \big(1 - \frac{t^2}{2n}\big)\big| \leqslant \frac{t^4}{8n^2}$.

En rassemblant, $$\begin{aligned} &\big|\varphi_{S_n/\sqrt n}(t) - e^{-t^2/2}\big| \\ &\leqslant t^2\,\eta\Big(\frac t{\sqrt n}\Big) + \frac{t^4}{8n} \longrightarrow 0. \end{aligned}$$

Conclusion. La limite $e^{-t^2/2}$ est la fonction caractéristique de $N$ (Fonctions caractéristiques, (iii)). Le théorème de Lévy (Continuité de Lévy, (ii)) donne la convergence en loi de $S_n/\sqrt n$ vers $N$.

La fonction de répartition de $N$ est continue en tout point, puisque $$P(N = x) = \int_{\{x\}} \frac{e^{-u^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\,du = 0,$$ la mesure de Lebesgue de $\{x\}$ étant nulle (Mesure de Lebesgue) : la convergence a lieu pour tout réel $x$.