Formule d'inversion de Fourier

(i) $\int G_\varepsilon = 1$ (Loi normale). Par Tonelli, $$\begin{aligned} &\|f * G_\varepsilon - f\|_1 \\ &\leqslant \int \|\tau_yf - f\|_1\,G_\varepsilon(y)\,dy \\ &= \int \|\tau_{\varepsilon u}f - f\|_1\,G_1(u)\,du, \end{aligned}$$ intégrale où $\|\tau_{\varepsilon u}f - f\|_1 \leqslant 2\|f\|_1$.

Soit $\eta > 0$. Par convergence monotone (Convergence monotone), $\int_{|u| \leqslant m} G_1 \to \int G_1 = 1$ ; soit $R \geqslant 1$ un entier tel que $\int_{|u| > R} G_1 \leqslant \eta$. Par la continuité des translations (Densité, (iii)), il existe $\delta > 0$ tel que $\|\tau_yf - f\|_1 \leqslant \eta$ pour $|y| \leqslant \delta$.

Pour $0 < \varepsilon \leqslant \delta/R$, on coupe l'intégrale en $|u| \leqslant R$, où $\|\tau_{\varepsilon u}f - f\|_1 \leqslant \eta$, et $|u| > R$ : $$\|f * G_\varepsilon - f\|_1 \leqslant \eta + 2\|f\|_1\,\eta.$$ La limite est ainsi obtenue directement quand $\varepsilon \to 0$ ; cet argument n'ajoute aucun choix.

Le second point se traite de même : $f * G_\varepsilon(x) - f(x) = \int \big(f(x - \varepsilon u) - f(x)\big)G_1(u)\,du$, on choisit $\delta$ par la continuité de $f$ en $x$, et la partie $|u| > R$ est majorée par $2\sup|f|\,\eta$.

(ii) Posons $I_\varepsilon(x) = \frac1{2\pi}\int \hat f(\xi)e^{ix\xi}e^{-\varepsilon^2\xi^2/2}\,d\xi$. Par Fubini, licite puisque $|f(y)|e^{-\varepsilon^2\xi^2/2}$ est intégrable sur ${\mathbb R^2}$, $$\begin{aligned} I_\varepsilon(x) &= \int f(y)\,\Big(\frac1{2\pi}\int e^{-i(y - x)\xi} \\ &\qquad\qquad e^{-\varepsilon^2\xi^2/2}\,d\xi\Big)\,dy \\ &= \int f(y)\,G_\varepsilon(x - y)\,dy \\ &= f * G_\varepsilon(x), \end{aligned}$$ la parenthèse se calculant par le changement de variable $\xi = s/\varepsilon$ et la formule $\hat\gamma = \sqrt{2\pi}\,\gamma$ (Transformée de Fourier, (iii)), qui donnent $$\frac{1}{2\pi\varepsilon}\sqrt{2\pi}\,e^{-(y - x)^2/(2\varepsilon^2)} = G_\varepsilon(x - y).$$

Prenons $\varepsilon = \frac1k$. Quand $k \to \infty$, $I_{1/k}(x)$ tend vers l'intégrale annoncée par convergence dominée (Convergence dominée, (i)), appliquée aux parties réelle et imaginaire, $\hat f$ étant intégrable. D'autre part, $f * G_{1/k} \to f$ dans $L^1$ par (i), donc presque partout le long d'une suite extraite, par la forme sans choix du nœud Espaces L¹ et L², (iv) : les $f * G_{1/k}$ sont des fonctions définies en tout point, et non des classes, si bien qu'aucun représentant n'est à choisir.

Points de continuité. Le second membre $F(x) = \frac1{2\pi}\int \hat f(\xi)e^{ix\xi}\,d\xi$ est continu en tout point : comme en Transformée de Fourier, (ii), pour $|x - x'| \leqslant h$, $$\begin{aligned} &|F(x) - F(x')| \\ &\leqslant \frac1{2\pi}\int |\hat f(\xi)|\min(2|\xi|h, 2)\,d\xi, \end{aligned}$$ majorant croissant en $h$ qui tend vers $0$ le long de $h = \frac1m$.

Soit $x$ un point de continuité de $f$, et supposons $|f(x) - F(x)| = 3\eta > 0$. Il existe $\delta > 0$ tel que $|f(y) - f(x)| < \eta$ et $|F(y) - F(x)| < \eta$ pour $|y - x| < \delta$. Alors $|f(y) - F(y)| > \eta$ sur $]x - \delta, x + \delta[$, ensemble de mesure $2\delta > 0$, ce qui contredit l'égalité presque partout : $f(x) = F(x)$.