Densité des fonctions en escalier et continuité des translations

(i) Supposons d'abord $A$ contenu dans un segment $I$. Soit $\mathcal D$ l'ensemble des boréliens $A \subset I$ approchables comme annoncé. Il contient les intervalles $]a, b] \cap I$, qui forment un π-système engendrant les boréliens de $I$ (Tribus).

Il contient $I$, est stable par différence $B \setminus A$ avec $A \subset B$, puisque $(B \setminus A) \triangle (F \setminus E) \subset (B \triangle F) \cup (A \triangle E)$, et par réunion croissante, puisque $\lambda(A \setminus A_n) \to 0$ par continuité. C'est une classe monotone ; par le lemme de Dynkin (Classes monotones), elle contient tous les boréliens de $I$.

Si $A$ est quelconque de mesure finie, $\lambda\big(A \setminus [-n, n]\big) \to 0$, et l'on applique ce qui précède à $A \cap [-n, n]$.

(ii) Par (i), $\|\mathbf 1_A - \mathbf 1_E\|_p^p = \lambda(A \triangle E)$ est petit. Une fonction étagée intégrable est combinaison finie d'indicatrices d'ensembles de mesure finie ; et toute $f \in L^p$ est limite dans $L^p$ de fonctions étagées, par l'approximation du nœud Fonctions étagées appliquée à $f^+$ et $f^-$, tronquée à $[-n, n]$, et par convergence dominée.

Enfin l'indicatrice d'un intervalle $[a, b]$ est limite dans $L^p$ des fonctions continues affines par morceaux qui valent $1$ sur $[a, b]$, $0$ hors de $[a - \delta, b + \delta]$.

(iii) Soit $g$ continue nulle hors d'un segment $[a, b]$, et $\eta > 0$. Le théorème de Heine (Théorème de Heine), appliqué sur le segment $[a - 1, b + 1]$, fournit $\delta \in \,]0, 1]$ tel que $|g(x) - g(x')| \leqslant \eta$ pour $x, x'$ dans ce segment avec $|x - x'| < \delta$. Si $|x - x'| < \delta$ et que l'un des deux points sort de $[a - 1, b + 1]$, aucun n'est dans $[a, b]$, et $g(x) = g(x') = 0$ : $g$ est uniformément continue sur $\mathbb R$.

Pour $|y| < \delta$, la fonction $\tau_yg - g$ est nulle hors de $[a - 1, b + 1]$ et bornée par $\eta$, d'où $\|\tau_yg - g\|_p \leqslant \eta\,(b - a + 2)^{1/p}$ : ainsi $\|\tau_yg - g\|_p \to 0$. On écrit $$\begin{aligned} \|\tau_yf - f\|_p &\leqslant \|\tau_y(f - g)\|_p \\ &\quad + \|\tau_yg - g\|_p + \|g - f\|_p, \end{aligned}$$ le premier terme valant $\|f - g\|_p$ par invariance de $\lambda$ par translation (Mesure de Lebesgue, (iii)).