Riemann-Lebesgue et critère de Dini

(i) Pour l'indicatrice d'un intervalle $[a, b]$, $\int_a^b \cos(\lambda t)\,dt = \frac{\sin(\lambda b) - \sin(\lambda a)}{\lambda}$ est majoré par $2/\lambda$. Par linéarité, l'énoncé vaut pour les fonctions en escalier, et par densité (Densité) pour toute $g \in L^1$, puisque $\big|\int (g - h)\cos(\lambda t)\big| \leqslant \|g - h\|_1$.

(ii) Par Théorème de Fejér, (i), et $\frac1{2\pi}\int D_N = 1$, $$\begin{aligned} &S_Nf(x) - f(x) \\ &= \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{f(x - t) - f(x)}{\sin(t/2)} \\ &\qquad \sin\big((N + \tfrac12)t\big)\,dt. \end{aligned}$$ Sur $[-\pi, \pi]$, $|\sin(t/2)| \geqslant |t|/\pi$, par concavité du sinus sur $[0, \frac\pi2]$ ; la fonction $g(t) = \frac{f(x - t) - f(x)}{\sin(t/2)}$ est donc intégrable, et l'on applique (i) avec $\lambda = N + \frac12$, en développant $\sin((N + \frac12)t)$.