Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér

(i) Avec $w = \exp(it/2)$, $D_N(t) = \sum_{k=-N}^N w^{2k}$, somme géométrique égale à $$\frac{w^{2N+1} - w^{-2N-1}}{w - w^{-1}} = \frac{\sin((N + \frac12)t)}{\sin(t/2)}.$$

En sommant, $$\begin{aligned} &\sum_{k=0}^N \sin\Big((k + \frac12)t\Big)\sin(t/2) \\ &= \frac12\sum_k \big(\cos(kt) - \cos((k + 1)t)\big) \\ &= \frac12\big(1 - \cos((N + 1)t)\big) \\ &= \sin^2\big((N + 1)t/2\big), \end{aligned}$$ d'où $F_N$.

La formule intégrale vient de $\cos(n(x - t)) = \cos(nx)\cos(nt) + \sin(nx)\sin(nt)$, qui donne, par définition des coefficients, $$S_Nf(x) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)D_N(x - t)\,dt.$$

L'image de $\lambda$ par la symétrie $t \mapsto -t$ donne à $]a, b]$ la mesure $\lambda([-b, -a[) = b - a$, les points étant négligeables ; elle coïncide donc avec $\lambda$ (Mesure de Lebesgue, (iii) et (iv)). Avec l'invariance par translation, le changement de variable $t = x - u$ transforme l'intégrale précédente en $\frac1{2\pi}\int_{x - \pi}^{x + \pi} f(x - u)D_N(u)\,du$.

Enfin, pour $g$ $2\pi$-périodique intégrable sur une période et $c$ réel, $\int_c^{c + 2\pi} g = \int_{-\pi}^{\pi} g$. En effet, écrivons $c = -\pi + 2k\pi + r$, avec $k$ entier et $r \in [0, 2\pi[$ ; la translation par $2k\pi$ ramène au cas $c = -\pi + r$, et la relation de Chasles, avec la translation par $2\pi$ sur $[\pi, \pi + r]$, donne $$\int_{-\pi + r}^{\pi + r} g = \int_{-\pi + r}^{\pi} g + \int_{-\pi}^{-\pi + r} g = \int_{-\pi}^{\pi} g.$$ Appliqué à $g(u) = f(x - u)D_N(u)$, cela donne la formule de $S_Nf$ ; celle de $\sigma_Nf$ s'en déduit en faisant la moyenne des formules pour $S_0f, \dots, S_Nf$.

Pour $f$ continue, seul cas utile en (iii), ces changements de variable valent aussi pour l'intégrale de Riemann, sans la mesure de Lebesgue : comme au nœud Loi normale, les intégrales de fonctions continues qui se correspondent par $t = x - u$ ou par une translation ont même dérivée par rapport à la borne (Théorème fondamental) et sont nulles ensemble.

(ii) $\frac1{2\pi}\int D_k = 1$ par l'orthogonalité (Coefficients de Fourier), donc $\frac1{2\pi}\int F_N = 1$. Pour $\delta \leqslant |t| \leqslant \pi$, $\sin^2(t/2) \geqslant \sin^2(\delta/2) > 0$, et $F_N(t) \leqslant \frac{1}{(N + 1)\sin^2(\delta/2)}$.

(iii) $f$ est uniformément continue sur $\mathbb R$. Soit en effet $\varepsilon > 0$. Le théorème de Heine (Théorème de Heine), appliqué sur le segment $[-2\pi, 2\pi]$, fournit $\delta \in \,]0, \pi]$ tel que $|f(u) - f(u')| < \varepsilon$ pour $u, u'$ dans ce segment avec $|u - u'| < \delta$. Si $|x - x'| < \delta$, soit $k$ l'entier tel que $x + 2k\pi \in [-\pi, \pi[$ ; alors $x' + 2k\pi \in [-2\pi, 2\pi]$, et $|f(x) - f(x')| = |f(x + 2k\pi) - f(x' + 2k\pi)| < \varepsilon$ par périodicité.

Pour ce $\delta$, $|t| < \delta$ entraîne donc $|f(x - t) - f(x)| < \varepsilon$ pour tout $x$. Par (ii), $$\begin{aligned} &|\sigma_Nf(x) - f(x)| \\ &\leqslant \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x - t) - f(x)|\,F_N(t)\,dt \\ &\leqslant \varepsilon + 2\sup|f| \sup_{\delta \leqslant |t| \leqslant \pi} F_N(t), \end{aligned}$$ qui est inférieur à $2\varepsilon$ pour $N$ grand, indépendamment de $x$.