Proposition 2Analyse de Fourier

Système trigonométrique et coefficients de Fourier

On travaille sur $[-\pi, \pi]$ avec le produit scalaire $\langle f, g \rangle = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} fg\,d\lambda$ de ${L^2}$ .

Les coefficients de Fourier de $f \in {L^1}([-\pi, \pi])$ sont $a_n(f) = \frac1\pi\int f(x)\cos(nx)\,dx$ et $b_n(f) = \frac1\pi\int f(x)\sin(nx)\,dx$ , et sa somme partielle de Fourier est $\begin{aligned} S_Nf(x) = {}&\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N \big(a_n\cos(nx) \\ &\qquad + b_n\sin(nx)\big). \end{aligned}$

Énoncé

(i) Orthogonalité. Pour $m, n \geqslant 0$ , $\langle \cos(m\,\cdot), \cos(n\,\cdot) \rangle$ vaut $0$ si $m \neq n$ , $1$ si $m = n \geqslant 1$ et $2$ si $m = n = 0$ ; $\langle \sin(m\,\cdot), \sin(n\,\cdot) \rangle$ vaut $1$ si $m = n \geqslant 1$ , et $0$ sinon ; $\langle \cos(m\,\cdot), \sin(n\,\cdot) \rangle = 0$ .

(ii) La famille $\frac{1}{\sqrt 2}, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \dots$ est orthonormale, et $S_Nf$ est la projection orthogonale de $f \in L^2$ sur l'espace qu'engendrent ses $2N + 1$ premiers termes.

(iii) Bessel. Pour $f \in L^2$ , $\frac{a_0^2}2 + \sum_{n \geqslant 1}(a_n^2 + b_n^2) \leqslant \frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f^2$ .

Démonstration

(i) Les formules $\cos a\cos b = \frac12\big(\cos(a - b) + \cos(a + b)\big)$ , $\sin a\sin b = \frac12\big(\cos(a - b) - \cos(a + b)\big)$ et $\sin a\cos b = \frac12\big(\sin(a + b) + \sin(a - b)\big)$ découlent de $\exp(i(a + b)) = \exp(ia)\exp(ib)$ (Exponentielle).

Pour $k \neq 0$ entier, $\int_{-\pi}^\pi \cos(kx)\,dx = \big[\frac{\sin(kx)}{k}\big]_{-\pi}^{\pi} = 0$ , puisque $\sin(k\pi) = 0$ (Paramétrage du cercle, (i)), et $\int_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\,dx = 0$ par imparité.

(ii) Les coefficients de $S_Nf$ sont les produits scalaires de $f$ avec la famille orthonormale ; la projection sur un sous-espace de dimension finie, fermé, est donnée par cette formule (Bases hilbertiennes, (ii)).

(iii) C'est l'inégalité de Bessel (Bases hilbertiennes, (i)).

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Remarque

Pour $f(x) = x$ sur $]{-\pi}, \pi[$ , l'imparité annule les $a_n$ , et une intégration par parties donne $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ . La série de Fourier est donc $2\big(\sin x - \frac{\sin 2x}{2} + \frac{\sin 3x}{3} - \cdots\big)$ ; on la retrouvera au nœud Parseval.

Repose sur

Analyse fonctionnelle Analyse complexe

Sert à

Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér