Familles orthonormales et bases hilbertiennes ⋆

(i) Pour $J \subset I$ fini, $x - \sum_{j \in J} \langle x, e_j \rangle e_j$ est orthogonal à chaque $e_j$, d'où, en développant, $$\begin{aligned} \|x\|^2 &= \Big\|x - \sum_J \langle x, e_j \rangle e_j\Big\|^2 \\ &\quad + \sum_J \langle x, e_j \rangle^2 \\ &\geqslant \sum_J \langle x, e_j \rangle^2. \end{aligned}$$ On passe à la borne supérieure sur $J$.

(ii) Pour $p < q$, on a $$\Big\|\sum_{p < n \leqslant q} \langle x, e_n \rangle e_n\Big\|^2 = \sum_{p < n \leqslant q} \langle x, e_n \rangle^2,$$ reste d'une série convergente par (i) : les sommes partielles $S_N = \sum_{n \leqslant N} \langle x, e_n \rangle e_n$ forment une suite de Cauchy, de limite $s \in F$.

Pour tout $k$, $$\begin{aligned} \langle x - s, e_k \rangle &= \lim_N \langle x - \sum_{n \leqslant N} \langle x, e_n \rangle e_n, e_k \rangle \\ &= 0, \end{aligned}$$ donc $x - s$ est orthogonal à l'espace engendré, et par continuité à $F$.

Pour $y \in F$, le vecteur $s - y$ est dans $F$, donc orthogonal à $x - s$, et $$\|x - y\|^2 = \|x - s\|^2 + \|s - y\|^2.$$ Ainsi $s$ est l'unique point de $F$ le plus proche de $x$ : c'est la projection $p_F(x)$ (Espaces de Hilbert, (ii)), obtenue ici sans suite minimisante.

Si $F = H$, le vecteur $x - s$ est orthogonal à lui-même, donc $s = x$ ; alors $\|x\|^2 = \lim \|S_N\|^2 = \sum \langle x, e_n \rangle^2$. Parseval entraîne que le seul vecteur orthogonal à tous les $e_n$ est nul, puisqu'il a une norme nulle. Enfin, si cette dernière condition est vérifiée, elle s'applique à $x - s$ : on a $x = s \in F$ pour tout $x$, donc $F = H$.

(iii) Soit $(x_k)$ dense. On parcourt la suite en ne retenant que les $x_k$ qui ne sont pas dans l'espace engendré par les précédents ; on obtient une suite $(y_m)$, finie ou non, de même espace engendré, dont toute sous-famille finie est libre.

On pose $e_0 = y_0/\|y_0\|$ et $e_{m} = z_m/\|z_m\|$, où $$z_m = y_m - \sum_{j < m} \langle y_m, e_j \rangle e_j$$ est non nul. Par récurrence sur $m$, supposons $e_0, \dots, e_{m-1}$ orthonormaux, d'espace engendré $\operatorname{Vect}(y_0, \dots, y_{m-1})$. Pour $i < m$, $$\langle z_m, e_i \rangle = \langle y_m, e_i \rangle - \langle y_m, e_i \rangle = 0,$$ et $z_m \neq 0$ puisque $y_m$ n'est pas dans $\operatorname{Vect}(y_0, \dots, y_{m-1}) = \operatorname{Vect}(e_0, \dots, e_{m-1})$. Ainsi $e_m$ est unitaire et orthogonal aux précédents ; comme $\|z_m\|\,e_m = y_m - w$ avec $w \in \operatorname{Vect}(e_0, \dots, e_{m-1})$, on a $\operatorname{Vect}(e_0, \dots, e_m) = \operatorname{Vect}(y_0, \dots, y_m)$.

Les $e_m$ sont donc orthonormaux et engendrent le même espace que les $y_m$, c'est-à-dire que les $x_k$, qui est dense.

(iv) Les familles orthonormales, vues comme parties de $H$, forment un ensemble ordonné par inclusion, où la réunion d'une chaîne est encore orthonormale. Le lemme de Zorn donne une famille maximale. Si $x \neq 0$ était orthogonal à tous ses éléments, on pourrait lui adjoindre $x/\|x\|$.