Le système trigonométrique est une base hilbertienne

(i) Il suffit que l'espace engendré soit dense (Bases hilbertiennes, (ii)). Les fonctions continues nulles hors d'un segment intérieur à $]{-\pi}, \pi[$ sont denses dans $L^2$. En effet, les fonctions en escalier y sont denses (Densité, (ii)), et l'indicatrice d'un intervalle d'extrémités $a < b$ contenu dans $[-\pi, \pi]$ est limite dans $L^2$ de celles de $[a + \eta, b - \eta]$, qui en diffèrent sur une partie de mesure au plus $2\eta$ ; chacune de ces dernières est à son tour limite dans $L^2$ des fonctions continues affines par morceaux qui valent $1$ sur $[a + \eta, b - \eta]$ et $0$ hors de $[a + \eta - \theta, b - \eta + \theta]$, pour $0 < \theta < \eta$, comme dans la preuve de Densité, (ii). Ces fonctions continues se prolongent en fonctions continues $2\pi$-périodiques, que le théorème de Fejér (Théorème de Fejér) approche uniformément, donc dans $L^2$, par des polynômes trigonométriques.

(ii) C'est l'égalité de Parseval pour une base hilbertienne.

(iii) Pour $f(x) = x$, $a_n = 0$ et $b_n = 2(-1)^{n+1}/n$ (Coefficients de Fourier), et $\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} x^2\,dx = \frac{2\pi^2}{3}$. Parseval donne $\sum 4/n^2 = 2\pi^2/3$.