Corollaire 1Espaces de fonctions continues

Polynômes de plusieurs variables, fonctions lipschitziennes

Une fonction polynomiale sur ${\mathbb R^n}$ est une combinaison linéaire finie de monômes $x \mapsto x_1^{a_1} \cdots x_n^{a_n}$ , où $a_1, \dots, a_n$ sont des entiers naturels.

Énoncé

(i) Pour toute partie compacte $K$ de $\mathbb R^n$ , les restrictions à $K$ des fonctions polynomiales forment une partie dense de $C(K)$ .

(ii) En particulier, les restrictions au cercle unité ${S^1}$ de $\mathbb R^2$ des fonctions polynomiales en $(x, y)$ sont denses dans $C(S^1)$ .

(iii) Sur un espace métrique compact $K$ , les fonctions lipschitziennes de $K$ dans ${\mathbb R}$ forment une partie dense de $C(K)$ .

Démonstration

(i) Les fonctions coordonnées sont continues sur $\mathbb R^n$ (Topologie produit), et les sommes et produits de fonctions continues réelles le sont : les restrictions des fonctions polynomiales forment une sous-algèbre de $C(K)$ qui contient les constantes. Elle sépare les points, puisque deux points distincts de $K$ diffèrent par l'une de leurs coordonnées. Le théorème de Stone-Weierstrass (Stone-Weierstrass, (iii)) conclut.

(ii) Le cercle $S^1$ est une partie compacte de $\mathbb R^2$ (Sphère unité Sⁿ), et l'on applique (i).

(iii) Les fonctions lipschitziennes forment un sous-espace vectoriel de $C(K)$ , qui contient les constantes. Si $f$ et $g$ sont lipschitziennes, de rapports $k$ et $l$ , elles sont bornées sur le compact $K$ , et $\begin{aligned} &|f(x)g(x) - f(y)g(y)| \\ &\quad \leqslant \|f\|_\infty|g(x) - g(y)| \\ &\qquad + \|g\|_\infty|f(x) - f(y)| \\ &\quad \leqslant (l\|f\|_\infty + k\|g\|_\infty)\, d(x, y) : \end{aligned}$ c'est une sous-algèbre. Pour $a \neq y$ , la fonction $x \mapsto d(a, x)$ , $1$ -lipschitzienne (Topologie d'une distance, (iv)), vaut $0$ en $a$ et $d(a, y) > 0$ en $y$ : elle sépare les points. Le théorème de Stone-Weierstrass conclut.

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Remarque

Composées avec $t \mapsto (\cos t, \sin t)$ , qui paramètre le cercle unité (Paramétrage du cercle), les fonctions polynomiales en $(x, y)$ deviennent des combinaisons linéaires de $\cos(kt)$ et de $\sin(kt)$ , par les formules qui linéarisent les produits : ce sont les polynômes trigonométriques. Le point (ii) redonne ainsi leur densité dans les fonctions continues $2\pi$ -périodiques, que le théorème de Fejér obtient avec une approximation explicite (Théorème de Fejér).

Remarque

Pour $n = 1$ et $K = [a, b]$ , le point (i) redonne le théorème de Weierstrass (Théorème de Weierstrass, (ii)), mais sans approximation explicite : la démonstration de Stone-Weierstrass, par compacité, ne dit pas quel polynôme convient, ni de quel degré.

Remarque

La densité des fonctions lipschitziennes permet d'établir une propriété sur ces fonctions, où les estimations sont faciles, puis de l'étendre aux fonctions continues. Ainsi, $B_n$ est linéaire et vérifie $\|B_nf\|_\infty \leqslant \|f\|_\infty$ , par positivité et parce que $B_n1 = 1$ (Polynômes de Bernstein, (ii)).

Si $g$ est $L$ -lipschitzienne et $\|f - g\|_\infty \leqslant \varepsilon$ , l'estimation (Polynômes de Bernstein, (iii)) donne $\begin{aligned} &\|B_nf - f\|_\infty \\ &\quad \leqslant \|B_n(f - g)\|_\infty + \|B_ng - g\|_\infty \\ &\qquad + \|g - f\|_\infty \\ &\quad \leqslant 2\varepsilon + \frac{L}{2\sqrt n}, \end{aligned}$ ce qui redonne le théorème de Weierstrass sur $[0, 1]$ (Théorème de Weierstrass, (i)).

Repose sur

Théorème de Stone-Weierstrass

Sert à

Séparabilité de C(K)