Théorème d'approximation de Weierstrass

(i) Le segment $[0, 1]$ est compact, et $f$ est uniformément continue (Théorème de Heine) : de tels $\varepsilon$ et $\delta$ existent pour tout $\varepsilon > 0$. Fixons $x \in [0, 1]$ et séparons les indices $k$ selon que $|\frac kn - x| < \delta$ ou non.

Dans le premier cas, $|f(\frac kn) - f(x)| \leqslant \varepsilon$ ; dans le second, $|f(\frac kn) - f(x)| \leqslant 2\|f\|_\infty \leqslant 2\|f\|_\infty \frac{(k/n - x)^2}{\delta^2}$. Par le point (i) du nœud Polynômes de Bernstein, $$\begin{aligned} &|B_nf(x) - f(x)| \\ &\quad \leqslant \sum_k \Big|f\Big(\frac kn\Big) - f(x)\Big|\, b_{n,k}(x) \\ &\quad \leqslant \varepsilon + \frac{2\|f\|_\infty}{\delta^2}\cdot\frac{x(1 - x)}n, \end{aligned}$$ et $x(1 - x) \leqslant \frac14$. La majoration ne dépend pas de $x$, et elle est au plus $2\varepsilon$ dès que $n \geqslant \|f\|_\infty/(2\varepsilon\delta^2)$.

(ii) Soit $f \in C([a, b])$ et $\varphi(s) = a + (b - a)s$, bijection affine de $[0, 1]$ sur $[a, b]$. La fonction $f \circ \varphi$ est continue sur $[0, 1]$, et, par (i), $\|B_n(f \circ \varphi) - f \circ \varphi\|_\infty \to 0$.

Or $P_n = B_n(f \circ \varphi) \circ \varphi^{-1}$ est polynomiale, comme composée d'une fonction polynomiale et de la fonction affine $\varphi^{-1}(x) = \frac{x - a}{b - a}$, et $\sup_{[a, b]} |P_n - f| = \sup_{[0, 1]} |B_n(f \circ \varphi) - f \circ \varphi|$.

(iii) Par (ii), il existe une fonction polynomiale $P$ telle que $\big||t| - P(t)\big| \leqslant \frac\varepsilon2$ sur $[-M, M]$. En $t = 0$, on obtient $|P(0)| \leqslant \frac\varepsilon2$, et $Q = P - P(0)$ convient.