Séparabilité de C(K) ⋆

(i) Une suite. Pour chaque entier $m \geqslant 1$, le nœud ℚ est dénombrable fournit une bijection de $\mathbb N$ sur ${\mathbb Q}^m$, définie explicitement, par récurrence sur $m$, sans choix. Une fonction polynomiale de degré au plus $d$ en chaque variable est donnée par la famille de ses $(d + 1)^n$ coefficients, indexés par les monômes rangés dans l'ordre lexicographique.

En composant la bijection $\mathbb N \to \mathbb N \times \mathbb N$ du même nœud avec, pour chaque $d$, la bijection $\mathbb N \to \mathbb Q^{(d+1)^n}$, on obtient une suite $(P_j)$ dont les termes sont exactement les fonctions polynomiales à coefficients rationnels.

Elle est dense. Soit $f \in C(K)$ et $\varepsilon > 0$. Par le nœud Applications, (i), il existe une fonction polynomiale $P = \sum_\alpha c_\alpha x^\alpha$ telle que $\|f - P\|_\infty < \varepsilon$, la somme portant sur $N$ monômes $x^\alpha$. Chaque monôme est continu, donc borné sur $K$, par un réel $R \geqslant 1$ commun.

Par densité de $\mathbb Q$ (Densité de ℚ), on remplace chaque $c_\alpha$ par un rationnel $r_\alpha$ tel que $|c_\alpha - r_\alpha| < \frac{\varepsilon}{NR}$ ; ce sont $N$ choix, en nombre fini. Le polynôme $Q = \sum_\alpha r_\alpha x^\alpha$, qui est l'un des $P_j$, vérifie $\|P - Q\|_\infty < \varepsilon$, donc $\|f - Q\|_\infty < 2\varepsilon$.

(ii) Si $K$ est vide, $C(K)$ n'a qu'un élément. Sinon, les couples $(k, i)$ tels que $1 \leqslant i \leqslant m_k$ se rangent en une suite, par l'ordre lexicographique, et l'on note $(\varphi_l)$ la suite correspondante des fonctions $x \mapsto d(x_{k,i}, x)$, continues (Topologie d'une distance, (iv)).

Elles séparent les points. Si $x \neq y$, soit $k$ tel que $2^{-k} < \frac12 d(x, y)$, et $i$ tel que $d(x_{k,i}, x) < 2^{-k}$. Alors $$\begin{aligned} d(x_{k,i}, y) &\geqslant d(x, y) - d(x_{k,i}, x) \\ &> \tfrac12 d(x, y) > d(x_{k,i}, x). \end{aligned}$$

Les fonctions polynomiales en $\varphi_0, \dots, \varphi_L$, pour tous les $L$, forment une sous-algèbre qui contient les constantes et sépare les points : elle est dense (Stone-Weierstrass, (iii)). Celles qui sont à coefficients rationnels sont les termes d'une suite, et elles l'approchent, par le même argument qu'en (i).

(iii) Le compact $K$ est précompact (Parties précompactes, (i)) : pour chaque $k$, il existe un 2^{-k}-réseau fini de $K$, que l'on peut prendre formé de points de $K$, par la démonstration de ce même point. On en choisit un pour chaque $k$, et l'on applique (ii).