Densité des rationnels et des irrationnels

Caractérisation. Par Adhérence, intérieur, (iii), $\overline D = \mathbb R$ si et seulement si toute boule rencontre $D$. Or toute boule est un intervalle $]a, b[$ avec $a < b$, et tout tel intervalle contient la boule de centre $\frac{a + b}2$ et de rayon $\frac{b - a}2$, qui est lui-même.

(i) C'est la densité établie au nœud Archimède, densité de ℚ : tout intervalle ouvert non vide contient un rationnel.

(ii) Soit $A = \{x \geqslant 0 : x^2 < 2\}$. Elle contient $1$, et elle est majorée par $2$, puisque $x \geqslant 2$ entraîne $x^2 \geqslant 4$. Soit $s = \sup A \geqslant 1$.

Si $s^2 < 2$, posons $$h = \min\Big(1, \frac{2 - s^2}{2(2s + 1)}\Big) > 0.$$ Alors $$\begin{aligned} (s + h)^2 &= s^2 + h(2s + h) \\ &\leqslant s^2 + h(2s + 1) \\ &\leqslant s^2 + \frac{2 - s^2}2 < 2, \end{aligned}$$ donc $s + h \in A$, ce qui contredit $s + h > s$.

Si $s^2 > 2$, posons $h = \frac{s^2 - 2}{2s}$, qui vérifie $0 < h < s$. Alors $$\begin{aligned} (s - h)^2 &= s^2 - 2sh + h^2 \\ &> s^2 - 2sh = 2. \end{aligned}$$ Un élément $x$ de $A$ strictement supérieur à $s - h > 0$ vérifierait $x^2 > (s - h)^2 > 2$ ; donc $s - h$ majore $A$, ce qui contredit $s - h < s = \sup A$.

Ainsi $s^2 = 2$. Si $0 < t < s$ ou $t > s$, alors $t^2 < s^2$ ou $t^2 > s^2$ : ce réel est unique. Il est irrationnel, puisqu'aucun rationnel n'a pour carré $2$ (Irrationalité de √2).

(iii) Soit $a < b$. Par (i), il existe un rationnel $q$ dans $]a - \sqrt 2, b - \sqrt 2[$, et $q + \sqrt 2 \in \,]a, b[$. Ce réel est irrationnel, sans quoi $\sqrt 2 = (q + \sqrt 2) - q$ serait rationnel.

Conséquences. Une boule incluse dans $\mathbb Q$ contiendrait un irrationnel par (iii), et une boule incluse dans $\mathbb R \setminus \mathbb Q$ un rationnel par (i) : les deux intérieurs sont vides (Adhérence, intérieur, (ii)).

Ainsi $\mathbb Q$, non vide et d'intérieur vide, n'est pas ouvert ; et $\overline{\mathbb Q} = \mathbb R \neq \mathbb Q$, donc $\mathbb Q$ n'est pas fermé.