Une fonction continue dont la série de Fourier diverge

(i) Comme $|\sin u| \leqslant |u|$, $|D_N(t)| \geqslant \frac{2|\sin((N + \frac12)t)|}{|t|}$. Avec $u = (N + \frac12)t$, $$\begin{aligned} L_N &\geqslant \frac2\pi\int_0^{(N + \frac12)\pi}\frac{|\sin u|}{u}\,du \\ &\geqslant \frac2\pi\sum_{k=0}^{N-1}\frac{1}{(k + 1)\pi}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin u|\,du \\ &= \frac{4}{\pi^2}\sum_{k=1}^N\frac1k, \end{aligned}$$ et la série harmonique diverge.

(ii) Soit $E$ l'espace des fonctions continues $2\pi$-périodiques, de Banach pour la norme uniforme (Exemples d'espaces de Banach), et $u_N(f) = S_Nf(0) = \frac1{2\pi}\int f(-t)D_N(t)\,dt$, forme linéaire continue de norme au plus $L_N$.

Elle vaut exactement $L_N$. Le noyau $D_N$ est pair, majoré en valeur absolue par $2N + 1$, et s'annule dans $]{-\pi}, \pi[$ exactement aux $2N$ points $\frac{2k\pi}{2N + 1}$, $1 \leqslant |k| \leqslant N$, par (i) du nœud Théorème de Fejér ; en $\pm\pi$, il vaut $(-1)^N$. Pour $0 < \eta \leqslant \frac{\pi}{2N + 1}$, les intervalles de longueur $\eta$ centrés en ces zéros sont disjoints et contenus dans $]{-\pi}, \pi[$.

Soit $f_\eta$ la fonction paire, $2\pi$-périodique, égale à $\operatorname{signe}(D_N)$ hors de ces intervalles et affine sur chacun d'eux. Elle est continue, la périodicité en $\pm\pi$ étant assurée par $D_N(\pm\pi) = (-1)^N$, et de norme $1$. Comme $f_\eta(-t)D_N(t) = |D_N(t)|$ hors des intervalles, et que les deux membres sont majorés par $2N + 1$ sur ceux-ci, $$|u_N(f_\eta) - L_N| \leqslant \frac{2N\eta}{2\pi}\,2(2N + 1),$$ qui tend vers $0$ avec $\eta$ : $|||u_N||| \geqslant L_N$.

L'espace $E$ possède une suite dense, définie sans choix : celle des polynômes trigonométriques à coefficients rationnels, rangés comme les fonctions polynomiales au nœud Séparabilité, (i), au moyen des bijections explicites du nœud ℚ est dénombrable. Elle est dense, puisque toute $f \in E$ est limite uniforme des polynômes trigonométriques $\sigma_Nf$ (Théorème de Fejér, (iii)), et qu'en remplaçant les coefficients $a_n$, $b_n$ d'un tel polynôme par des rationnels $r_n$, $s_n$, on ne le change, en norme uniforme, que d'au plus $\sum_n \big(|a_n - r_n| + |b_n - s_n|\big)$.

Si les $S_Nf(0)$ étaient bornés pour toute $f \in E$, le théorème de Banach-Steinhaus, sous sa forme sans choix (Banach-Steinhaus, (ii)), bornerait les $L_N$, ce que (i) contredit.