Théorème de Banach-Steinhaus ⋆

(i) Les ensembles $$\begin{aligned} F_n = \{x :{} &\|u_i(x)\| \leqslant n \\ &\text{pour tout } i\} \end{aligned}$$ sont fermés, comme intersections de fermés, et leur réunion est $E$. Par le théorème de Baire (Théorème de Baire), l'un d'eux contient une boule $B(x_0, r)$.

Pour $\|z\| < r$, $$\begin{aligned} \|u_i(z)\| &\leqslant \|u_i(x_0 + z)\| + \|u_i(x_0)\| \\ &\leqslant 2n, \end{aligned}$$ d'où $|||u_i||| \leqslant 2n/r$ pour tout $i$.

Pour la seconde assertion, la suite $(u_n(x))$ converge, donc est bornée, pour tout $x$ ; $u$ est linéaire par passage à la limite, et $\|u(x)\| = \lim \|u_n(x)\| \leqslant \sup_n |||u_n|||\,\|x\|$, où la borne supérieure est finie par (i) : $u$ est continue (Opérateurs continus, (i)).

(ii) Le seul appel au choix, dans la démonstration de (i), est celui que fait le théorème de Baire. Si $E$ possède une suite dense, ce théorème se démontre sans choix (Théorème de Baire, (ii)), et il ne sert ici que sous la forme d'une existence : l'un des $F_n$ est d'intérieur non vide. Le reste de la démonstration ne choisit rien.