Transformée de Fourier des fonctions intégrables

(i) Si $\int h \neq 0$, écrivons $\int h = |\int h|\,e^{i\theta}$ (Le nombre π, (iii)) ; alors $|\int h| = \int \operatorname{Re}(e^{-i\theta}h) \leqslant \int |h|$.

(ii) Continuité. Les fonctions $\cos$ et $\sin$ ont des dérivées bornées par $1$ (Exponentielle, (iii) et (iv)) ; elles sont donc $1$-lipschitziennes (Accroissements finis, (ii)), et $|e^{-ix\xi} - e^{-ix\xi'}| \leqslant \min\big(2|x|\,|\xi - \xi'|, 2\big)$. Par (i), pour $|\xi - \xi'| \leqslant h$, on a $|\hat f(\xi) - \hat f(\xi')| \leqslant \omega(h)$, où $$\omega(h) = \int |f(x)|\min(2|x|h, 2)\,dx.$$

La fonction $\omega$ est croissante. Les fonctions $|f(x)|\min(2|x|/m, 2)$ sont dominées par $2|f|$ et tendent vers $0$ en tout point quand $m \to \infty$ ; par convergence dominée (Convergence dominée, (i)), $\omega(\frac1m) \to 0$. Pour $\varepsilon > 0$, un entier $m$ tel que $\omega(\frac1m) \leqslant \varepsilon$ donne $|\hat f(\xi) - \hat f(\xi')| \leqslant \varepsilon$ dès que $|\xi - \xi'| \leqslant \frac1m$ : $\hat f$ est uniformément continue. Cet argument n'ajoute aucun choix, contrairement au passage par des suites quelconques.

Limite à l'infini. Pour la limite, on applique l'argument de Convergence ponctuelle, (i) : vrai pour l'indicatrice d'un intervalle, il passe aux fonctions en escalier, puis à $L^1$ par densité (Densité).

(iii) Par imparité, $\hat\gamma(\xi) = g(\xi) = \int e^{-x^2/2}\cos(x\xi)\,dx$. Posons $s(\xi) = \int xe^{-x^2/2}\sin(x\xi)\,dx$ et $c_2 = \int x^2e^{-x^2/2}\,dx$, fini (Loi normale, (ii)).

Dérivée, sans dérivation sous l'intégrale. La dérivée seconde de $\cos$, qui est $-\cos$, est bornée par $1$ ; la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre $1$ (Taylor-Lagrange) donne, pour tous réels $x$, $\xi$ et $h$, l'inégalité étant évidente si $xh = 0$, $$\begin{aligned} &\big|\cos(x(\xi + h)) - \cos(x\xi) + xh\sin(x\xi)\big| \\ &\leqslant \frac{x^2h^2}2. \end{aligned}$$

En multipliant par $e^{-x^2/2}$ et en intégrant, $$|g(\xi + h) - g(\xi) + h\,s(\xi)| \leqslant \frac{c_2h^2}2,$$ donc $g$ est dérivable et $g'(\xi) = -s(\xi)$.

Intégration par parties. Sur un segment $[-m, m]$, où les intégrales de fonctions continues pour $\lambda$ sont celles de Riemann (Riemann et Lebesgue), la dérivée du produit (Opérations) et le théorème fondamental (Théorème fondamental) donnent $$\begin{aligned} &\int_{-m}^m xe^{-x^2/2}\sin(x\xi)\,dx \\ &\quad = -2e^{-m^2/2}\sin(m\xi) \\ &\qquad + \xi\int_{-m}^m e^{-x^2/2}\cos(x\xi)\,dx. \end{aligned}$$ Quand l'entier $m$ tend vers l'infini, le crochet tend vers $0$, et les deux intégrales tendent vers $s(\xi)$ et $g(\xi)$ par convergence dominée (Convergence dominée, (i)), les intégrandes étant dominés par $|x|e^{-x^2/2}$ et $e^{-x^2/2}$, intégrables. Donc $s(\xi) = \xi g(\xi)$, d'où $g' = -\xi g$.

Donc $\big(g(\xi)e^{\xi^2/2}\big)' = 0$, et $g(\xi) = g(0)e^{-\xi^2/2}$, avec $g(0) = \sqrt{2\pi}$ (Loi normale). Le cas de $G_\varepsilon$ s'en déduit par le changement de variable $x = \varepsilon u$, qui donne $\hat G_\varepsilon(\xi) = \frac1{\sqrt{2\pi}}\hat\gamma(\varepsilon\xi)$. On le justifie comme au nœud Loi normale : les intégrales de fonctions continues sur $[-\varepsilon m, \varepsilon m]$ en $x$ et sur $[-m, m]$ en $u$ sont égales, puisqu'elles ont même dérivée par rapport à $m$ (Théorème fondamental) et sont nulles pour $m = 0$, puis en faisant tendre $m$ vers l'infini par convergence dominée, appliquée aux parties réelle et imaginaire.

(iv) Par Tonelli, $\int\!\!\int |f(x - y)g(y)|\,dy\,dx = \|f\|_1\|g\|_1$, par invariance de $\lambda$ par translation ; par Fubini (Tonelli, Fubini), $f * g$ est définie presque partout, intégrable, et $$\begin{aligned} &\widehat{f * g}(\xi) \\ &= \int\!\!\int f(x - y)e^{-i(x - y)\xi}g(y)e^{-iy\xi}\,dy\,dx \\ &= \hat f(\xi)\hat g(\xi). \end{aligned}$$