Théorème 6Mesure, intégration

Théorème de convergence dominée ⋆

⋆ Axiome du choix

Le point (i), pour une suite de fonctions, n'utilise aucun choix. Les intégrales à paramètre de (ii) et (iii), en revanche, passent des suites $t_n \to t_0$ à la continuité, et des suites de taux d'accroissement à la dérivabilité, par le sens réciproque de la caractérisation séquentielle (Caractérisation séquentielle) : elles en héritent le choix dénombrable.

Énoncé

(i) Soit $(f_n)$ une suite de fonctions mesurables réelles qui converge simplement vers $f$ . S'il existe $g$ intégrable telle que $|f_n| \leqslant g$ pour tout $n$ , alors $f$ est intégrable, $\begin{aligned} &\int |f_n - f| \, d\mu \longrightarrow 0, \\ &\int f_n \, d\mu \longrightarrow \int f \, d\mu. \end{aligned}$

(ii) Intégrales à paramètre. Soit $I$ un intervalle et $F(t) = \int h(t, x) \, d\mu(x)$ , où $h(t, \cdot)$ est mesurable pour tout $t \in I$ . S'il existe $g$ intégrable telle que $|h(t, x)| \leqslant g(x)$ pour tous $t, x$ , et si $t \mapsto h(t, x)$ est continue en $t_0$ pour tout $x$ , alors $F$ est continue en $t_0$ .

(iii) Dérivation sous l'intégrale. Avec les notations de (ii), si $t \mapsto h(t, x)$ est dérivable sur $I$ pour tout $x$ , avec $|\partial_t h(t, x)| \leqslant g(x)$ , alors $F$ est dérivable et $F'(t) = \int \partial_t h(t, x) \, d\mu(x)$ .

Démonstration

(i) $f$ est mesurable, comme limite simple, et $|f| \leqslant g$ , donc intégrable. Les fonctions $2g - |f_n - f|$ sont positives ; par le lemme de Fatou (Lemme de Fatou) et l'additivité de l'intégrale sur ${\mathcal L^1}$ , $\begin{aligned} \int 2g &\leqslant \liminf_n \int \big(2g - |f_n - f|\big) \\ &= \int 2g - \limsup_n \int |f_n - f|. \end{aligned}$ Comme $\int 2g$ est fini, $\limsup \int |f_n - f| \leqslant 0$ . Enfin $\big|\int f_n - \int f\big| \leqslant \int |f_n - f|$ .

(ii) Par la caractérisation séquentielle (Caractérisation séquentielle), il suffit de voir que $F(t_n) \to F(t_0)$ pour toute suite $t_n \to t_0$ ; c'est (i) appliqué à $f_n = h(t_n, \cdot)$ .

(iii) Pour $t_n \to t$ , $t_n \neq t$ , les fonctions $x \mapsto \frac{h(t_n, x) - h(t, x)}{t_n - t}$ sont mesurables et convergent vers $\partial_t h(t, x)$ , qui est donc mesurable. Elles sont dominées par $g$ : par le théorème de Rolle (Dérivabilité), appliqué à $s \mapsto h(s, x) - h(t, x) - (s - t)q$ avec $q$ le taux d'accroissement, celui-ci vaut $\partial_t h(c, x)$ pour un $c$ entre $t$ et $t_n$ . Le point (i) donne la convergence des taux d'accroissement de $F$ .

□

Remarque

La domination ne peut pas être omise. Pour la mesure $\mu$ de masse $1$ sur $\mathbb N^*$ , de poids $w_k = \frac1{k(k+1)}$ , de la remarque du nœud Lemme de Fatou, la suite $f_n = n(n + 1)\mathbf 1_{\{n\}}$ converge simplement vers $0$ , mais $\int f_n \, d\mu = 1$ pour tout $n$ . Aucune fonction intégrable ne majore toutes les $f_n$ : une telle fonction $g$ vérifierait $g(k) \geqslant k(k + 1)$ pour tout $k$ , donc majorerait, pour tout $N$ , la fonction étagée $\sum_{k \leqslant N} k(k + 1)\mathbf 1_{\{k\}}$ , d'intégrale $\sum_{k \leqslant N} k(k + 1)\,w_k = N$ , et l'on aurait $\int g \, d\mu = +\infty$ .

Chaque point

k

\mathbb N^*

est figuré par le segment

]\frac1{k+1}, \frac1k]

, de longueur

w_k

. Les rectangles bleus sont les graphes de

f_1

f_2

f_3

, tous d'aire

1

. Leur enveloppe

\sup_n f_n

, en rouge, vaut

k(k + 1)

au-dessus du segment de

k

; son aire, somme d'une infinité de termes égaux à

1

, est infinie : aucune fonction intégrable ne peut la majorer.

Remarque

Le théorème reste vrai si la convergence et la domination n'ont lieu que presque partout : on modifie les fonctions sur un ensemble négligeable, ce qui ne change aucune intégrale (Fonctions intégrables, (iii)). C'est cette souplesse que l'intégrale de Riemann ne possède pas.

Repose sur

Lemme de Fatou Fonctions intégrables

Sert à

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