Définition 4Mesure, intégration

Fonctions intégrables

Une fonction mesurable $f : X \to {\mathbb R}$ est intégrable si $\int |f| \, d\mu < +\infty$ . On pose alors $\int f \, d\mu = \int f^+ \, d\mu - \int f^- \, d\mu$ , différence de deux réels, puisque $f^+, f^- \leqslant |f|$ . On note ${\mathcal L^1}(\mu)$ l'ensemble des fonctions intégrables.

Énoncé

(i) La somme de deux fonctions intégrables, et le produit d'une fonction intégrable par un réel, sont intégrables. Pour $f, g \in \mathcal L^1(\mu)$ et $c \in \mathbb R$ , on a $\int (f + g) \, d\mu = \int f \, d\mu + \int g \, d\mu$ et $\int cf \, d\mu = c\int f \, d\mu$ , et $f \leqslant g$ entraîne $\int f \, d\mu \leqslant \int g \, d\mu$ .

(ii) $\big|\int f \, d\mu\big| \leqslant \int |f| \, d\mu$ .

(iii) Si $f$ et $g$ sont mesurables et égales presque partout, $f$ est intégrable si et seulement si $g$ l'est, et $\int f = \int g$ .

Démonstration

(i) $|f + g| \leqslant |f| + |g|$ et $|cf| = |c|\,|f|$ , d'où la stabilité.

Si $h = f + g$ , alors $h^+ - h^- = f^+ - f^- + g^+ - g^-$ , soit $h^+ + f^- + g^- = h^- + f^+ + g^+.$ En intégrant par additivité des intégrales positives (Convergence monotone, (i)), puis en réordonnant des termes finis, $\int h = \int f + \int g$ .

Pour $c \geqslant 0$ , $(cf)^\pm = cf^\pm$ ; pour $c = -1$ , $f^+$ et $f^-$ s'échangent. Si $f \leqslant g$ , $\int g - \int f = \int (g - f) \geqslant 0$ .

(ii) $\big|\int f^+ - \int f^-\big| \leqslant \int f^+ + \int f^- = \int |f|$ .

(iii) $|f - g|$ est nulle presque partout, donc d'intégrale nulle (Intégrale positive, (iv)), et $|f| \leqslant |g| + |f - g|$ ; par (ii), $\big|\int f - \int g\big| \leqslant \int |f - g| = 0$ .

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Remarque

Par (iii), l'intégrale ne voit pas les ensembles négligeables. C'est pourquoi l'on identifie souvent deux fonctions égales presque partout : l'espace quotient $L^1(\mu)$ , muni de $\|f\|_1 = \int |f|$ , est un espace normé complet, objet central de l'analyse fonctionnelle.

Repose sur

Théorème de convergence monotone (Beppo Levi)

Sert à

Théorème de convergence dominée Théorèmes de Tonelli et de Fubini