Corollaire 1Dérivabilité

Inégalité des accroissements finis

Énoncé

Soit $a < b$ et $f : [a, b] \to {\mathbb R}$ continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$ .

(i) Si $m \leqslant f'(x) \leqslant M$ pour tout $x \in \,]a, b[$ , alors $m(b - a) \leqslant f(b) - f(a) \leqslant M(b - a)$ .

Pour

f(x) = x^3/3

sur

[1, 2]

, on a

1 \leqslant f'(x) = x^2 \leqslant 4

. Appliqué sur chaque segment

[1, x]

, le point (i) enferme le graphe dans le secteur gris limité par les droites issues de

(a, f(a))

de pentes

m = 1

M = 4

; en

b = 2

, la valeur

f(b) = \frac83

se trouve sur le segment rouge, qui va de

f(a) + m(b - a) = \frac43

f(a) + M(b - a) = \frac{13}3

Démonstration

(i) Par l'égalité des accroissements finis (Égalité des accroissements finis), $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ pour un $c \in \,]a, b[$ , et l'on multiplie l'encadrement $m \leqslant f'(c) \leqslant M$ par $b - a > 0$ .

(ii) Soit $x < y$ dans $I$ . Le segment $[x, y]$ est contenu dans $I$ , et tout point de $]x, y[$ est un point de $I$ qui n'en est pas une extrémité. On applique (i) sur $[x, y]$ avec $m = -k$ et $M = k$ .

□

Remarque

Pour $f(x) = x^3$ sur $[1;\ 1{,}1]$ , on a $3 \leqslant f'(x) = 3x^2 \leqslant 3{,}63$ , donc $0{,}3 \leqslant 1{,}1^3 - 1 \leqslant 0{,}363$ . La vraie valeur, $0{,}331$ , est bien dans cet intervalle. On encadre ainsi une variation sans la calculer, ce qui est l'usage même du théorème : il transforme une information sur la dérivée en une information sur la fonction.

Remarque

Une fonction lipschitzienne est uniformément continue : $\delta = \varepsilon / k$ convient en tout point. Ainsi $1/x$ est $1$ -lipschitzienne sur $[1, +\infty[$ , où $|f'(x)| = 1/x^2 \leqslant 1$ , alors qu'elle n'est lipschitzienne, pour aucune constante, sur aucun intervalle $]0, r]$ : son taux d'accroissement entre $x$ et $y$ vaut $-1/(xy)$ , qui n'y est pas borné.

Remarque

C'est cette inégalité, et non l'égalité, qui se généralise aux fonctions de plusieurs variables et aux fonctions à valeurs vectorielles, au nœud Accroissements finis.

Repose sur

Égalité des accroissements finis

Sert à

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