Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer ⋆

(i) Les opérations et la norme ne dépendent pas du représentant (Fonctions intégrables, (iii)), et $\|f\|_1 = 0$ entraîne $f = 0$ presque partout (Intégrale positive, (iv)).

Pour $L^2$ : $(f + g)^2 \leqslant 2f^2 + 2g^2$ et $|fg| \leqslant \frac12(f^2 + g^2)$.

Pour tout réel $t$, $$\begin{aligned} 0 \leqslant \int (|f| - t|g|)^2 &= \|f\|_2^2 - 2t\int |fg| \\ &\quad + t^2\|g\|_2^2, \end{aligned}$$ d'où l'inégalité de Cauchy-Schwarz en prenant $t = \int |fg| / \|g\|_2^2$ si $\|g\|_2 \neq 0$, le cas $\|g\|_2 = 0$ étant trivial. Elle donne $$\begin{aligned} \|f + g\|_2^2 &\leqslant \|f\|_2^2 + 2\|f\|_2\|g\|_2 \\ &\quad + \|g\|_2^2, \end{aligned}$$ c'est-à-dire l'inégalité triangulaire.

(iv) Soit $(f_n)$ comme dans l'énoncé, et, avec $n_{-1} = -1$, $n_k$ le plus petit entier $n > n_{k-1}$ tel que $\|f_m - f_{m'}\| \leqslant 2^{-k}$ pour $m, m' \geqslant n$.

Posons $$g = \sum_k |f_{n_{k+1}} - f_{n_k}|,$$ à valeurs dans ${[0, +\infty]}$. Les sommes partielles $g_K$ croissent vers $g$ et vérifient $\|g_K\| \leqslant \sum_k 2^{-k} \leqslant 2$ ; par convergence monotone, appliquée à $g_K$ ou à $g_K^2$, $\int g$ ou $\int g^2$ est fini.

Donc $g < +\infty$ presque partout, et la série $f_{n_0} + \sum_k (f_{n_{k+1}} - f_{n_k})$ converge absolument presque partout, vers une fonction $f$, que l'on prend nulle sur le négligeable restant.

Ainsi $f_{n_k} \to f$ presque partout, et $$|f - f_{n_k}| \leqslant \sum_{j \geqslant k} |f_{n_{j+1}} - f_{n_j}|,$$ dont la norme est au plus $2^{1-k}$ par le même argument : $f$ est de même nature que les $f_n$, et $\|f - f_{n_k}\| \to 0$. Une suite de Cauchy ayant une suite extraite convergente converge (Espaces complets, (i)), ce qui vaut aussi pour l'écart $\|\cdot\|$, dont la démonstration n'utilise que l'inégalité triangulaire : $\|f_n - f\| \to 0$.

Si enfin $\|f_n - h\| \to 0$, alors $\|f - h\| \leqslant \|f - f_n\| + \|f_n - h\|$ tend vers $0$, si bien que $f = h$ presque partout, et la suite extraite converge vers $h$ presque partout.

(ii) et (iii) Une suite de classes étant donnée, de Cauchy ou convergente, on choisit un représentant de chacune, et l'on applique (iv) à la suite de fonctions obtenue. C'est le seul endroit où la démonstration fait appel au choix dénombrable.

(v) La suite. Pour $m$ fixé, les intersections $C_0 \cap \cdots \cap C_m$ sont indexées par les $2^{m+1}$ suites de $\{0, 1\}^{m+1}$, et leurs réunions par les parties de cet ensemble fini, que l'écriture binaire numérote par les entiers $< 2^{2^{m+1}}$. Avec les bijections explicites de $\mathbb N \times \mathbb N$ sur $\mathbb N$ et de $\mathbb N$ sur $\mathbb Q$ (ℚ est dénombrable), la première itérée pour coder les suites finies d'entiers, on range les fonctions de l'énoncé en une suite $(\delta_j)$ sans rien choisir.

Un π-système qui engendre $\mathcal A$. Une intersection de rang $m$ est la réunion des deux intersections de rang $m + 1$ qui la prolongent : deux éléments de $\mathcal A_0$ s'écrivent avec un même rang, et leur intersection, leur réunion et leur différence sont encore des réunions d'intersections de ce rang. Ainsi $\mathcal A_0$ est un π-système, stable par différence ; il contient $X$ et les $B_k$, et il est contenu dans $\mathcal A$, d'où $\sigma(\mathcal A_0) = \mathcal A$.

Les indicatrices. Fixons $n$. L'ensemble $\mathcal D_n$ des $A \in \mathcal A$ tels que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $E \in \mathcal A_0$ avec $\mu\big((A \triangle E) \cap X_n\big) < \varepsilon$ contient $\mathcal A_0$. Il est stable par différence $B \setminus A$, puisque $$(B \setminus A) \triangle (F \setminus E) \subset (B \triangle F) \cup (A \triangle E),$$ et par réunion croissante, puisque $\mu\big((A \setminus A_k) \cap X_n\big) \to 0$ par continuité de la mesure finie $\mu(\,\cdot \cap X_n)$ (Mesures, (iii)). C'est une classe monotone qui contient le π-système $\mathcal A_0$ : par le lemme de Dynkin (Classes monotones, (i)), $\mathcal D_n = \mathcal A$.

Densité. Notons $\|\cdot\|$ l'une des deux expressions, et $p$ l'exposant correspondant, de sorte que $\|\mathbf 1_B\| = \mu(B)^{1/p}$. Pour $A \in \mathcal A$ de mesure finie, $E \in \mathcal A_0$ et $n \in \mathbb N$, $$|\mathbf 1_A - \mathbf 1_{E \cap X_n}| \leqslant \mathbf 1_{(A \triangle E) \cap X_n} + \mathbf 1_{A \setminus X_n}.$$ Le second terme a une norme petite pour $n$ grand, par continuité décroissante de la mesure, $\mu(A)$ étant fini (Mesures, (iii)), et le premier, $n$ étant fixé, pour $E$ convenable, par ce qui précède ; pour une combinaison finie d'indicatrices, on prend un même $n$ pour toutes.

Toute fonction $f$ intégrable, ou de carré intégrable, est la limite pour $\|\cdot\|$ de combinaisons linéaires finies d'indicatrices de parties de mesure finie. On approche en effet $f^+$ et $f^-$ par les fonctions étagées $s_k$ du nœud Fonctions étagées, qui ne sont non nulles que là où $f^\pm \geqslant 2^{-k}$, partie de mesure finie par l'inégalité de Markov (Intégrale positive, (iii)) appliquée à $|f|^p$, et l'on conclut par convergence dominée (Convergence dominée, (i)). Enfin un coefficient réel $c$ se remplace par un rationnel $q$, au prix de $|c - q|\,\mu(X_n)^{1/p}$. Pour $f$ et $\varepsilon$ donnés, chaque étape n'invoque qu'un nombre fini d'existences.

Complétude. Soit $(x_m)$ une suite de Cauchy de classes, et $j_m$ le plus petit entier $j$ tel que $\|x_m - \delta_j\| < 2^{-m}$. La suite de fonctions $(\delta_{j_m})$ est de Cauchy, puisque $$\|\delta_{j_m} - \delta_{j_{m'}}\| \leqslant 2^{-m} + \|x_m - x_{m'}\| + 2^{-m'}.$$ Par (iv), elle converge vers une fonction $f$, et $\|x_m - f\| \leqslant 2^{-m} + \|\delta_{j_m} - f\|$ tend vers $0$. Aucun représentant n'a été choisi : les $\delta_{j_m}$ sont désignées par leur indice.