Puissances d'exposant réel

(i) On a $\ln(x^a) = \ln\exp(a\ln x) = a \ln x$. Les égalités du tableau s'en déduisent par Exponentielle, (iii) : $$\begin{aligned} x^{a+b} &= \exp(a\ln x + b\ln x) = x^a x^b, \\ (x^a)^b &= \exp(b\ln(x^a)) = x^{ab}, \\ (xy)^a &= \exp(a\ln x + a\ln y) = x^a y^a, \end{aligned}$$ la troisième par Logarithme, (ii). Puis $x^a x^{-a} = x^0 = \exp 0 = 1$, $x^1 = \exp\ln x = x$ et $1^a = \exp(a \ln 1) = 1$.

(ii) Pour $n = 0$, $\exp(0) = 1 = x^0$. Si $\exp(n\ln x)$ est la puissance entière $x^n$, alors $\exp((n+1)\ln x) = \exp(n \ln x)\exp(\ln x) = x^n x$, qui est la puissance entière $x^{n+1}$. Le cas $-n$ vient de $x^{-a} = 1/x^a$.

Soit $p \in \mathbb Z$ et $q \geqslant 1$. Par (i), $(x^{p/q})^q = x^{p}$, et $x^{p/q} > 0$. Si $z > 0$ vérifie aussi $z^q = x^p$, alors $q \ln z = \ln(z^q) = \ln(x^p) = p \ln x$, la première égalité par Logarithme, (ii), la dernière par (i), $x^p$ étant aussi la puissance réelle par ce qui précède ; d'où $\ln z = \frac pq \ln x = \ln(x^{p/q})$, et $z = x^{p/q}$ par injectivité de $\ln$.

Enfin $\ln e = 1$, donc $e^a = \exp(a \ln e) = \exp a$.

(iii) Par la dérivée d'une composée (Dérivée d'une composée) et $\exp' = \exp$, la dérivée de $x \mapsto \exp(a\ln x)$ est $$\exp(a\ln x) \cdot \frac ax = a\,x^a x^{-1} = a\,x^{a-1},$$ et celle de $a \mapsto \exp(a \ln x)$ est $(\ln x) \exp(a \ln x)$.

(iv) Soit $a > 0$. La dérivée $a\,x^{a-1}$ est strictement positive sur $]0, +\infty[$, donc $x \mapsto x^a$ y est strictement croissante (Signe de la dérivée, (iii)), et ses valeurs sont strictement positives ; avec $0^a = 0$, elle l'est sur $[0, +\infty[$. Elle est continue sur $]0, +\infty[$, où elle est dérivable (Développement à l'ordre 1), et en $0$ : pour $\varepsilon > 0$ et $0 \leqslant x < \varepsilon^{1/a}$, on a $x^a < (\varepsilon^{1/a})^a = \varepsilon$.

Pour tout $A > 0$ et $x > A^{1/a}$, on a de même $x^a > A$ : la limite en $+\infty$ est $+\infty$. Pour $z > 0$, $(z^{1/a})^a = z$ par (i), et $0^{1/a} = 0$ a pour image $0^a = 0$ par convention, ce qui donne la surjectivité ; l'injectivité vient de la stricte croissance.

Si $a < 0$, la dérivée est strictement négative, d'où la stricte décroissance ; et $x^a = 1/x^{-a}$, où $x^{-a} \to +\infty$, est inférieur à $\varepsilon$ dès que $x^{-a} > 1/\varepsilon$.