Inégalités fondamentales et croissances comparées

(i) Posons $u(y) = \exp y - 1 - y$. Elle est dérivable, de dérivée $u'(y) = \exp y - 1$ (Exponentielle, (ii)), strictement négative pour $y < 0$ et strictement positive pour $y > 0$, puisque $\exp$ est strictement croissante et $\exp 0 = 1$. Par le nœud Signe de la dérivée, (iii), appliqué à $-u$ sur $]{-\infty}, 0]$ et à $u$ sur $[0, +\infty[$, $u$ est strictement décroissante sur le premier intervalle et strictement croissante sur le second. Ainsi $u(y) > u(0) = 0$ pour tout $y \neq 0$.

Pour $x > 0$, on applique ce résultat à $y = \ln x$ : $x \geqslant 1 + \ln x$, avec égalité si et seulement si $\ln x = 0$, c'est-à-dire $x = 1$.

(ii) Par récurrence sur $m$. Pour $m = 0$, $\exp y \geqslant \exp 0 = 1$ si $y \geqslant 0$. Si l'inégalité vaut au rang $m$, la fonction $v(y) = \exp y - \frac{y^{m+1}}{(m+1)!}$ a pour dérivée, sur $[0, +\infty[$, $$v'(y) = \exp y - \frac{y^m}{m!} \geqslant 0$$ (Opérations, (iv)). Elle est donc croissante (Signe de la dérivée, (i)), et $v(y) \geqslant v(0) = 1 > 0$.

(iii) Première expression. La propriété d'Archimède (Archimède) fournit un entier $m \geqslant 1$ tel que $m \geqslant a + 1$. Pour $x \geqslant 1$, on a $x^{a - (m-1)} \leqslant 1$, par Puissances réelles, (iv), l'exposant étant négatif ou nul, donc $x^a \leqslant x^{m-1}$. Avec (ii), $$0 < x^a\exp(-x) \leqslant \frac{x^{m-1}\, m!}{x^m} = \frac{m!}{x}.$$ Pour $\eta > 0$, ce majorant est inférieur à $\eta$ dès que $x > \max(1, m!/\eta)$.

Deuxième expression. Pour $x \geqslant 1$, (i) appliqué à $x^{\varepsilon/2}$ donne $\frac\varepsilon2 \ln x = \ln(x^{\varepsilon/2}) < x^{\varepsilon/2}$, par Puissances réelles, (i). Ainsi $$0 \leqslant \frac{\ln x}{x^\varepsilon} < \frac{2}{\varepsilon}\,\frac{x^{\varepsilon/2}}{x^{\varepsilon}} = \frac{2}{\varepsilon\, x^{\varepsilon/2}}.$$ Or $x^{\varepsilon/2} \to +\infty$ (Puissances réelles, (iv)) : pour $\eta > 0$, le majorant est inférieur à $\eta$ dès que $x^{\varepsilon/2} > 2/(\varepsilon\eta)$.

Troisième expression. Pour $0 < x \leqslant 1$, la même inégalité, appliquée à $1/x \geqslant 1$, donne $0 \leqslant x^\varepsilon\ln(1/x) < \frac2\varepsilon\,x^{\varepsilon/2}$, Pour $\eta > 0$, posons $\delta = \min\big(1, (\varepsilon\eta/2)^{2/\varepsilon}\big)$. Pour $0 < x < \delta$, la stricte croissance de $x \mapsto x^{\varepsilon/2}$ (Puissances réelles, (iv)) donne $x^{\varepsilon/2} < \varepsilon\eta/2$, et le majorant est inférieur à $\eta$.

(iv) Pour $x > 0$, (ii) appliqué à $y = 1/x$ donne $\exp(1/x) \geqslant \frac{1}{m!\,x^m}$, et $\exp(-1/x) = 1/\exp(1/x) \leqslant m!\,x^m$. Appliqué au rang $m + 1$, il donne $0 < \exp(-1/x)/x^m \leqslant (m+1)!\,x$ ; pour $\eta > 0$, ce majorant est inférieur à $\eta$ dès que $0 < x < \delta = \eta/(m+1)!$.