Une fonction indéfiniment dérivable, plate en 0

(i) Le signe vient de ce que $\exp$ est à valeurs strictement positives. Sur $]0, +\infty[$, $\theta$ est la composée de $x \mapsto -1/x$, de dérivée $1/x^2$, et de $\exp$ ; la dérivée d'une composée (Dérivée d'une composée) donne $\theta'(x) = \frac{1}{x^2}\theta(x)$, qui est la formule pour $k = 1$, puisque $P_1(u) = u^2$.

Si $\theta^{(k)}(x) = P_k(1/x)\,\theta(x)$ sur $]0, +\infty[$, la dérivée de ce produit (Opérations, (ii) à (iv), et Dérivée d'une composée) est $$\begin{aligned} &-\frac{1}{x^2}P_k'\Big(\frac1x\Big)\theta(x) + P_k\Big(\frac1x\Big)\frac{\theta(x)}{x^2} \\ &\quad = P_{k+1}\Big(\frac1x\Big)\theta(x). \end{aligned}$$

(ii) Une majoration. Soit $P$ un polynôme de degré au plus $d$, dont la somme des valeurs absolues des coefficients vaut $A$. Pour $0 < x \leqslant 1$, chaque terme $c_j x^{-j}$ de $P(1/x)$ est majoré en valeur absolue par $|c_j|\,x^{-d}$, donc $|P(1/x)| \leqslant A\,x^{-d}$. Par Croissances comparées, (iv), avec $m = d + 2$, on a $\theta(x) \leqslant (d+2)!\,x^{d+2}$, et $$\big|P(1/x)\,\theta(x)\big| \leqslant A\,(d+2)!\,x^2.$$

Récurrence. Montrons que, pour tout $k$, $\theta$ est $k$ fois dérivable sur $\mathbb R$, avec $\theta^{(k)} = 0$ sur $]{-\infty}, 0]$ et $\theta^{(k)}(x) = P_k(1/x)\,\theta(x)$ pour $x > 0$. C'est vrai pour $k = 0$.

Supposons-le au rang $k$. Sur $]{-\infty}, 0[$, $\theta^{(k)}$ est nulle, de dérivée nulle ; sur $]0, +\infty[$, elle a la dérivée calculée en (i). En un point $x_0 \neq 0$, le taux d'accroissement de $\theta^{(k)}$ sur $\mathbb R$ a la même limite que sur l'intervalle ouvert de même signe que $x_0$, par le caractère local des limites (Limite en un point, (iii)). En $0$, le taux d'accroissement $$\frac{\theta^{(k)}(h) - \theta^{(k)}(0)}{h}$$ est nul pour $h < 0$, et majoré en valeur absolue, pour $0 < h \leqslant 1$, par $A_k\,(d_k+2)!\,h$, où $d_k$ et $A_k$ sont le degré de $P_k$ et la somme des valeurs absolues de ses coefficients. Il est donc inférieur à $\eta > 0$ en valeur absolue pour $0 < |h| < \min\big(1, \eta/(A_k(d_k+2)!)\big)$, et il tend vers $0$ (Dérivabilité en un point ; Limite en un point, (iii), pour la restriction à $|h| \leqslant 1$), et $\theta^{(k+1)}(0) = 0$.

Conclusion. Chaque $\theta^{(k)}$ est dérivable sur $\mathbb R$, donc continue (Développement à l'ordre 1) : $\theta$ est de classe $C^k$ pour tout $k$.

(iii) Le polynôme de Taylor de $\theta$ en $0$ à l'ordre $n$ (Taylor-Lagrange) est $\sum_{k \leqslant n} \frac{\theta^{(k)}(0)}{k!}x^k = 0$ par (ii), alors que $\theta(x) > 0$ pour $x > 0$ par (i).