Lemme 3Cohomologie de de Rham

Une fonction plateau sur chaque cube

Soit $E$ la fonction du nœud Une exponentielle réelle. On note $\theta$ la fonction du nœud Fonction plate en 0 : $\theta(x) = E(-1/x)$ pour $x > 0$ , et $\theta(x) = 0$ pour $x \leqslant 0$ .

Pour $p \in {\mathbb R^n}$ et $r > 0$ , on pose $\psi_{p,r}(y) = \prod_{l=1}^n \theta\big(r^2 - (y_l - p_l)^2\big).$

Une fonction plateau sur $\mathbb R^n$ est, comme sur toute variété (Partitions de l'unité), une fonction de classe $C^\infty$ , nulle hors d'une partie compacte, sans être identiquement nulle.

Énoncé

(i) $\theta$ est de classe $C^\infty$ sur ${\mathbb R}$ ; elle est nulle sur $]{-\infty}, 0]$ et strictement positive sur $]0, +\infty[$ . Toutes ses dérivées successives sont nulles en $0$ , et, pour $x > 0$ , $\theta^{(k)}(x) = P_k(1/x)\,\theta(x)$ , où les polynômes $P_k$ sont définis par $P_0 = 1$ et $P_{k+1}(u) = u^2\big(P_k(u) - P_k'(u)\big).$

(ii) $\psi_{p,r}$ est une fonction plateau : elle est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb R^n$ , strictement positive sur le cube ouvert $B_\infty(p, r)$ , et nulle en dehors.

Démonstration

(i) C'est le nœud Fonction plate en 0, (i) et (ii), où les polynômes $P_k$ sont définis de la même façon : $\theta$ y est démontrée de classe $C^k$ pour tout $k$ au sens du nœud Taylor-Lagrange, avec $\theta^{(k)} = 0$ sur $]{-\infty}, 0]$ et $\theta^{(k)}(x) = P_k(1/x)\,\theta(x)$ pour $x > 0$ .

C'est aussi la classe $C^k$ du nœud Classe Cᵏ pour $n = 1$ , par récurrence sur $k$ , puisque $d\theta(x)(h) = h\,\theta'(x)$ (Différentielle, (ii)) et que $\theta'$ a la même forme que $\theta$ : dérivable en tout point, de dérivée elle-même dérivable à tout ordre.

(ii) Pour chaque $l$ , la fonction $y \mapsto r^2 - (y_l - p_l)^2$ est polynomiale, donc de classe $C^\infty$ , et sa composée avec $\theta$ l'est aussi (Classe Cᵏ, (iii)), ainsi que le produit des $n$ facteurs.

Chaque facteur est positif, et strictement positif si et seulement si $|y_l - p_l| < r$ . Le produit est donc strictement positif si et seulement si $\|y - p\|_\infty < r$ , et nul sinon. Il est nul hors du cube fermé $\prod_l [p_l - r, p_l + r]$ , fermé et borné, donc compact (L'espace ℝⁿ, (iii)), et il n'est pas nul en $p$ .

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Remarque

Les premiers polynômes sont $P_1(u) = u^2$ , $P_2(u) = u^4 - 2u^3$ et $P_3(u) = u^6 - 6u^5 + 6u^4$ , comme on le vérifie en dérivant $\theta$ à la machine. Comme $P_2(u) = u^3(u - 2)$ , la dérivée seconde de $\theta$ ne s'annule sur $]0, +\infty[$ qu'en $x = 1/2$ : $\theta$ est convexe sur $]0, 1/2]$ , concave au-delà, et c'est en $x = 1/2$ que sa pente, $\theta'(1/2) = 4\theta(1/2) \approx 0{,}541$ , est maximale.

Les valeurs $\theta(1) \approx 0{,}368$ , $\theta(1/2) \approx 0{,}135$ et $\theta(1/10) \approx 4{,}5 \cdot 10^{-5}$ montrent à quel point elle est plate près de $0$ .

À gauche, la fonction

\theta

, nulle sur

]{-\infty}, 0]

, qui quitte l'axe sans angle ni saut ; le point rouge, d'abscisse

x = 1/2

, est son unique point d'inflexion. À droite, la fonction plateau

\psi_{0,1}

sur

\mathbb R

, soit

t \mapsto \theta(1 - t^2)

, strictement positive sur

]{-1}, 1[

et nulle en dehors ; son maximum, en

0

, vaut

\theta(1) \approx 0{,}368

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire qu'une fonction de classe $C^\infty$ est la somme de sa série de Taylor. Ici toutes les dérivées en $0$ sont nulles, si bien que le polynôme de Taylor en $0$ est nul à tout ordre, alors que $\theta(x) > 0$ pour $x > 0$ : dans la formule de Taylor-Lagrange (Taylor-Lagrange), le reste porte à lui seul toute la valeur de la fonction. C'est précisément cette souplesse, interdite aux fonctions développables en série entière, qui permettra de recoller des objets locaux.

Remarque

Les fonctions $\psi_{p,r}$ sont celles du nœud Partitions de l'unité, (ii), de la géométrie différentielle, lues dans la carte $\mathrm{id}$ ; elles y fournissent les partitions de l'unité sur une variété, qui démontrent qu'une variété orientable porte une forme volume (Forme volume). Ce graphe les reprend sur les ouverts de $\mathbb R^n$ , avec des cubes explicites. Elles servent d'abord aux partitions de l'unité de ce graphe, puis aux chapitres de cette théorie sur la cohomologie en tout degré et à support compact, et à la théorie des distributions, où elles fournissent les fonctions test et les noyaux régularisants (Distributions et EDP).

Repose sur

Une fonction égale à sa dérivée, construite par une intégrale

Sert à

Partition de l'unité associée aux cubes